LCS 最长公共子序列（DP经典问题）

最长公共子序列问题以及背包问题都是DP（动态规划）算法的经典题目，值得深度挖掘以致了解DP算法思想。问题如下：

最长公共子序列

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难度：3

描述

咱们就不拐弯抹角了，如题，需要你做的就是写一个程序，得出最长公共子序列。

tip：最长公共子序列也称作最长公共子串(不要求连续)，英文缩写为LCS（Longest Common Subsequence）。其定义是，一个序列 S ，如果分别是两个或多个已知序列的子序列，且是所有符合此条件序列中最长的，则 S 称为已知序列的最长公共子序列。

输入

第一行给出一个整数N(0<N<100)表示待测数据组数

接下来每组数据两行，分别为待测的两组字符串。每个字符串长度不大于1000.

输出

每组测试数据输出一个整数，表示最长公共子序列长度。每组结果占一行。

样例输入

2
asdf
adfsd
123abc
abc123abc

样例输出

3
6

算法分析：根据题意，我们需要找出任意两个字符串中相同的最长序列（不需要1对1完全相同），那么就题中的第一组数据，我们可以起于a也可以起于d或者f，这有着多种不同的情况，所以需用动态规划解决问题，对于LCS可能包含在s与ti-1,也可能存在于si-1与ti中，抑或si与ti之间，这使得我们意识到最后一个相同点就是解题的出发点，存在二种情况：

若s1[i]==s2[j], dp[i][j] = dp[i-1][j-1]+1否则，dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1])

得到DP方程为

一维DP代码如下：

#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;
char s1[1001], s2[1001];
int dp[1001], t, x, y;
int main(){
	cin>>t;
	while(t--){
		cin>>s1>>s2;
		memset(dp, 0, sizeof(dp));
		int lenS1=strlen(s1), lenS2=strlen(s2);
		for(int i=0; i<lenS1; i++){
			x=0;
			for(int j=0; j<lenS2; j++){
				y = dp[j];
				if(s1[i]==s2[j]) dp[j] = x+1;
				else if(dp[j-1]>dp[j]) dp[j]=dp[j-1];
				x = y;
			}
		}
		cout<<dp[lenS2-1]<<"\n";
	}
	return 0;
}        

二维DP代码如下：

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#define MAX 1000
int dp[MAX+1][MAX+1];
char s[MAX],t[MAX];
int max(int a,int b)
{return a>b?a:b;}
int main()
{
	int N,i,j,n,m;
	scanf("%d",&N);
	while(N--)
	{
		scanf("%s%s",s,t);
		int x=strlen(s),y=strlen(t);
		for(i=0;i<x;i++)
		{
			for(j=0;j<y;j++)

				if(s[i]==t[j])
					dp[i+1][j+1]=dp[i][j]+1;
				else
					dp[i+1][j+1]=max(dp[i+1][j],dp[i][j+1]);
		}
		printf("%d\n",dp[i][j]);
	}
	return 0;
}

LCS 最长公共子序列（DP经典问题）