一个数学建模的目标规划问题：奥运会商圈规划问题

奥运会商圈规划问题

1 问题描述

2008奥运会期间，在比赛主场馆周边地区需要建设迷你超市（MS）网，以满足观众的购物需求。

基本要求：满足奥运会期间的购物需求、分布基本均衡和商业上盈利。

2 基本假设、名词约定及符号说明

2.1 基本假设（包含对目标要求的基本理解）

（1）  各场馆相互独立；

（2）  MS分布均衡是指各商区的MS的数量相等或近似相等；

（3）  各商区内设有两种大小规模的MS，并且相同规模的MS造价相同；

（4）  各商区的MS的利润率均相等；

（5）  人们的消费欲望和当前MS的利润率有关。

2.2 符号说明

2.3 名词约定

（1）MS的标准容量；

（2）潜在效益：建立MS网点潜在或长远的收益；

（3）就业效益：建立MS网点在缓解社会就业压力方面产生的社会效益；

（4）商圈：零售企业进行销售活动的空间范围（吸引顾客的范围）。

3 问题分析与模型准备

通过分析问题发现，确定每个商区内不同规模的MS的个数是研究的重点（后续将其当做了主要变量来处理），而MS的设置应该满足以上三个基本条件，同时加分点也可以再多考虑一些其他方面的因素，如：这些MS在解决失业人口再就业问题方面带来的效益。

至此，我们可以感觉到该问题可以用目标规划方法建立问题求解的数学模型。

进一步分析可知，建立规划模型需要知道20个商区的人流量分布，而人流量分布又可根据问卷调查反映的观众在出行、用餐和购物等方面的规律得到，于是就找到了解决问题的思路。

3.1 基本思路

（1）在满足最短路原则的条件下，根据调查得到观众出行规律，按比例计算不同规模体育馆周围各点的人流量分布，确定经过各商区的观众人次及其平均消费档次。

（2）建立以xi、yi为规划变量的目标规划模型；

（3）分析模型求解的结果与实际情况的差别，如发现不妥，则进一步改进模型，使其现实意义更大。

3.2 基本数学表达式的构建

1.购物要求

各商区首先应该满足奥运会期间的购物需求，即一方面为观众提供方便的购物环境，另一方面增加商区的收益。用下式描述购物需求关系：

Ni<= xi*a + yi*b <= t*Ni，i = 1,2,3,4…

xi代表小MS的个数，a代表相应容量；yi与b类似；t表示限制因子。该式的意义是各商区的大小MS所能接纳的标准顾客综合应大于等于该商区的总顾客数，同时也不能太大，以免浪费资源，对商区造成负面影响，故用限制因子t。t值依据经验确定，一般为t=2.

2.分布均衡要求

这里的分布均衡指各商区的MS的个数近似相等，也就是要求20个商区的MS个数的方差尽可能小，其数学表达式为：

min:[xi + yi – [xi + yi]/20(I = 1 ~ 20)]  (i= 1~20)

3.经济效益：

以各商区所有MS的总利润为研究对象。利润与总销售额和利润率有关，还应考虑各MS得折旧费用。应尽量让利润最大，以提高MS的经济效益，得：

max: profit = 销售额*利润率– 造价（含折旧费用）

4.潜在效益：

建立任何商业设施都应该考虑当前的收益和潜在的收益，包括顾客对该项服务的满意程度和因此而引起的长远收益。这里统一用潜在效益来描述MS在这方面的社会效益，且这主要由顾客的满意程度决定。

顾客的满意度又主要和MS的利润率有关，并认为当N= 0时，满意度最大为1，为此结合顾客的平均消费水平及顾客的消费心理特征构建了如下的潜在收益的表达式：

underlyingbenefit= 2 -…..

5.就业效益

当前就业问题已经是比较严重的社会问题，如果多设一个MS就会相应增加一些就业机会，从而有助于缓解紧张的就业压力，但从这个角度讲，应该多设置一些MS点，用下式表达所有MS的就业效益：

obtainemploymentbenefit = s * [xi*c + yi*d]  (I = 1~20)

其中s为一个人就业的社会效益值；c、d分别为小、大MS可提供的就业岗位个数。

4 设置MS网点数学模型的建立与求解

4.1 模型建立了

通过以上分析可知，对商区内MS网点的设计有多个目标和多个限制条件，为便于建立一个规划模型，首先要确定问题所涉及的几个目标函数。在对问题的分析中，已构建了几个描述问题目标和限制条件的数学表达式，容易发现设置MS网点的经济效益、潜在效益和就业效益可以作为目标函数，而且3个目标函数都要求最大化，多目标不利于问题的求解。于是可先用偏好性系数加权法将多目标问题转化为单目标问题，其表达式为：

其中，目标函数F综合体现了经济效益、潜在效益和就业效益，称之为综合效益；k1，k2和k3有两方面的涵义，一是作为偏好性加权系数，二是充当修正系数的作用，以保证经济效益、潜在效益和就业效益3个目标函数的量化值在数值上近似相等。

至此建立以下的单目标规划模型：

s.t.：

关于约束条件的说明：

（1）条件1和2是为了分别满足观众的购物需求和各商区的MS分布均匀的要求，这里引入了一个限制方差上线的I*以调节各商区MS分布的均匀程度，I*值越大，表明对MS分布均匀程度的限制越宽松，I*越小则对这种均匀程度要求越高，特殊的是当I*为0时表明各商区的MS数量必须相等。考虑实际情况，尽管各商区的面积都相等，但由于地理、交通等因素，各商区的商圈还是有点不同的，正如题目要求的各商区的MS分布只是基本均衡。

（2）条件5和6是为了给出各商区内大小两种MS数量的上线，以便计算机求解。

（3）条件7给出了两种MS数量的比例关系，所以给出了它们比例的上下限，一般来讲，一个商区内的小MS的数量都要比大MS的数量多，所以令b1 = 1，同时这种比例不宜过大，所以定上限b2 = 10。

4.2 模型求解

1.模型求解的理论分析

该模型是一个多变量非线性单目标规划模型，模型是否有解主要取决于限制条件。分析模型的限制条件会发现1和2构成了又多组解的而原方程组，而其他的一些约束条件则在一定程度上限定了一些解，再由目标函数则可很快地找到最优解，基于这样的分析可以认为该模型有最优解。

2.模型中一些参数的确定

（1）k1，k2，k3和S

k1，k2，k3分别为加权因子，这3个子目标函数中经济效益最重要，而且它有明确意义的数值概念，即是以收入的货币（元）来衡量的，所以可以将潜在效益和就业效益也转化为经济效益。由潜在效益的数学表达式可以发现，当利润率为定值时，潜在效益也为定值，潜在效益仅是利润率的函数，所以为了便于问题的求解，令k2 = 0.（说明，并不是对潜在效益不重视，只是为了便于问题的求解。）

个人的就业效益值可以他的工资来衡量，并认为一个工作人员一天的工资为100元，即S = 100.此时可以简便地令k1 = k3 = 1.

（2）N和r

各商区各MS的利润率N应该相等，N月带，MS的盈利额就越高，但N值过大会产生负面效应，暂且规定N = 10%。

根据统计的结果可以很快计算出： cj = 202，当N = 1时，计算出r。

（这里的cj营业额是从实际数据获取。感觉是不是有一个原则：对于可以从现实世界中获取的准确数据，一定要从实际出发，但是像上面的权重什么的，则可以根据相关联系分析，给出一个假定值。）

（3）a，b，c和d

基于对附近小MS每天人流量的调查和体育馆周边商区的商圈大小，认为小MS的标准容量a = 1000，大MS的标准容量b = 8000，小MS可以提供的就业岗位c = 20，大MS提供的就业岗位d = 100.

（4）c’ 和c’’

这两个参数分别为小、大MS的每天的折旧费用，考虑实际情况，暂令c’ = 10000，c’’ = 200000.

3.模型求解的结果

通过分析可知，该模型是一个非线性整数规划问题。其中，约束条件5和6要求与约束条件1在一定程度上是矛盾的，导致解空间大大缩小了；约束条件2要求各商区MS总数的方差要在一定范围内，但是由于各商区的总人流量不等，最大的为278096，最小的仅为60000，因此要同时满足约束条件1和2，解空间就会变得恨不规则，所以这个问题的求解是比较困难的。

实际中，采用Lingo软件，通过运行几次程序发现，要找到最优解非常困难，有时需要连续计算一个半小时以上，而找到可行解则花费的时间比较少，并且迭代一段时间后，目标函数仅在一个较小的区域内发生变化，和最优解相差无几。

通过中断求解过程发现，这时的解和最优解差别也不大，所以认为用得到可行解后迭代至目标函数变化不明显的解来代替最优解是合理的，是可以接受的。当各参数的取值为：a = 1000，b = 8000，k1 = 1，k3 = 1，c’ = 10000，c’’ = 200000，c = 20，d = 100，S = 100，N = 0.1，I* = 800，t = 1.5，b1 = 1，b2 = 6时，求得的最优解如下表所示（同时为了给出一种比较好的MS网络设计方案，对两个重要参数t，b2分别赋予不同的值求解进行比较，比较的结果如图所示）：

从上图可知，变化趋势大体上是目标函数值随自变量的增大而增大。所以选择使目标函数最大的一组参数，可得对应的最优解。