POJ1286 Necklace of Beads【Polya定理】

题目链接：

http://poj.org/problem?id=1286

题目大意：

给定3种颜色的珠子，每种颜色珠子的个数均不限，将这些珠子做成长度为N的项链。

问能做成多少种不重复的项链，最后的结果不会超过int类型数据的表示范围。并且两

条项链相同，当且仅当两条项链通过旋转或是翻转后能重合在一起，且对应珠子的颜

色相同。

解题思路：

这道题和POJ2409是一样的题目，只不过这道题规定了颜色数目。

Polya定理的应用。先来看Polya定理。

Polya定理：设 G = {a1，a2，…，ag}是 N 个对象的置换群，用 M 种颜色给这 N 个

对象着色，则不同的着色 方案数为：

|G|^(-1) * {M^c(a1) + M^c(a2) + … + M^c(ag)}。

其中 c(ai)为置换 ai 的循环节数，( i = 1，2，…，g )。

对于这道题，直接用Polya定理求解，找出所有的置换，并求出置换的循环节数。然后

根据上边公式求出 3^c(ai) 的总和，再除以置换群个数。

题中有两种置换方式：

1.旋转置换。分别顺时针旋转 i 个珠子，其循环节长度为 LCM(N，i) / i，循环节数为

N / (LCM(N，i) / i)，即 GCD(N，i)。

2.翻转置换。根据 N 的奇偶性分情况讨论。

N为奇数时：

以第 i 个珠子为顶点和中心翻转，翻转后，第 i 个珠子保持不变，其余珠子两两相

互对换，因为有 N 个珠子，所以有 N 种翻转置换，每种翻转循环节数为 (N+1) / 2。

N为偶数时，有两种翻转方式：

以两边相对的两个珠子为轴和中心翻转，翻转后，这两个珠子保持不变，其余珠子

两两相互对换，共有 N/2 种翻转置换，每种翻转循环节数为 (N+2) / 2。

以相邻的珠子中间连线为轴和中心翻转，翻转后，所有珠子两两相互对换，共有 N/2

种翻转置换，每种翻转循环节数为 N/2。

然后根据Polya定理的公式和上述所求求出结果。

注意：这道题用 int 的话3^18就已经超出 int 范围了，所以要用 __int64类型。

AC代码：

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#define LL __int64
using namespace std;

LL GCD(LL a,LL b)
{
    if(b == 0)
        return a;
    return GCD(b,a%b);
}

int main()
{
    LL N;
    while(~scanf("%I64d",&N) && N != -1)
    {
        if(N <= 0)
        {
            printf("0\n");
            continue;
        }
        LL sum = 0;
        for(int i = 1; i <= N; ++i)
        {
            LL tmp = GCD(N,i);
            sum += (LL)(pow(3.0,tmp*1.0));
        }
        if(N & 1)
            sum += (LL)(N * pow(3.0, (N+1)/2.0));
        else
        {
            sum += (LL)((N/2) * pow(3.0, (N+2)/2.0));
            sum += (LL)((N/2) * pow(3.0, N/2.0));
        }

        sum = sum/2/N;
        printf("%I64d\n",sum);
    }

    return 0;
}

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