最小割Stoer-Wagner算法
割：在一个图G（V，E）中V是点集，E是边集。在E中去掉一个边集C使得G（V，E-C）不连通，C就是图G（V，E）的一个割；
最小割：在G（V，E）的所有割中，边权总和最小的割就是最小割。
求G的任意s-t最小割Min-C（s，t）：
设s，t是途中的两个点且边（s，t）∈E（即s，t之间存在一条边）。如果G的最小割Cut把G分成M，N两个点集
①：如果s∈M，t∈N则Min-C（s，t）= Cut（不讨论）
②：如果s，t∈M（或者s，t∈N）则Min-C（s，t）<= Cut
我们来定义一个Contract(a,b)操作，即把a，b两个点合并，表示为删除节点b，把b的节点信息添加到a上,如下图是做了Contract（5,6）
对于所点v有w(v,5)+=w(v,6)
求s-t最小割的方法
定义w(A,x) = ∑w(v[i],x)，v[i]∈A
定义Ax为在x前加入A的所有点的集合（不包括x）
1.令集合A={a}，a为V中任意点
2.选取V-A中的w(A,x)最大的点x加入集合
3.若|A|=|V|，结束，否则更新w(A,x)，转到2
令倒数第二个加入A的点为s，最后一个加入A的点为t，则s-t最小割为w(At,t)
以Poj (pku) 2914 Minimum Cut
的第三个case为例，图为
G（V，E）
我们设法维护这样的一个w[]，初始化为0；
我们把V-A中的点中w[i]最大的点找出来加入A集合；
V-A直到为空
w[]的情况如下
|
w[i] |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
|
初始值 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
A=A∪{0} |
--- |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
|
A=A∪{1} |
--- |
2 |
2 |
1 |
0 |
0 |
0 |
|
|
A=A∪{2} |
--- |
3 |
1 |
0 |
0 |
0 |
||
|
A=A∪{3} |
--- |
1 |
0 |
0 |
1 |
|||
|
A=A∪{4} |
--- |
1 |
1 |
2 |
||||
|
A=A∪{7} |
2 |
2 |
--- |
|||||
|
A=A∪{5} |
--- |
3 |
||||||
|
A=A∪{6} |
--- |
每次w[i]+=∑(i,a)的权值a∈A
记录最后加入A的节点为t=6，倒数第二个加入A的为s=5，则s-t的最小割就为w[s]，在图中体现出来的意思就是5-6的最小割为w[s]=3
然后我们做Contract(s,t)操作，得到下图
G(V’,E’)
重复上述操作
|
w[i] |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
7 |
|
初始值 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
A=A∪{0} |
--- |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
|
A=A∪{1} |
--- |
2 |
2 |
1 |
0 |
0 |
|
|
A=A∪{2} |
--- |
3 |
1 |
0 |
0 |
||
|
A=A∪{3} |
--- |
1 |
0 |
1 |
|||
|
A=A∪{4} |
--- |
2 |
2 |
||||
|
A=A∪{5} |
--- |
4 |
|||||
|
A=A∪{7} |
--- |
s=5，t=7 s-t最小割是4
Contract(s,t)得到
|
w[i] |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
初始值 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
A=A∪{0} |
--- |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
|
A=A∪{1} |
--- |
2 |
2 |
1 |
0 |
|
|
A=A∪{2} |
--- |
3 |
1 |
0 |
||
|
A=A∪{3} |
--- |
1 |
1 |
|||
|
A=A∪{4} |
--- |
4 |
||||
|
A=A∪{5} |
--- |
s=4，t=5 s-t最小割是4
Contract(s,t)得到
|
w[i] |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
初始值 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
A=A∪{0} |
--- |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
A=A∪{1} |
--- |
2 |
2 |
1 |
|
|
A=A∪{2} |
--- |
3 |
1 |
||
|
A=A∪{3} |
--- |
2 |
|||
|
A=A∪{4} |
--- |
s=3，t=4 s-t最小割是2，（此时已经得出答案，以下省略）
AC代码
1 #include <iostream>
2 #include <cstdio>
3 #include <cstring>
4 #include <cmath>
5 #include <algorithm>
6 #include <climits>
7 #include <vector>
8 #include <queue>
9 #include <cstdlib>
10 #include <string>
11 #include <set>
12 #include <stack>
13 #define LL long long
14 #define pii pair<int,int>
15 #define INF 0x3f3f3f3f
16 using namespace std;
17 const int maxn = 510;
18 int e[maxn][maxn],n,m;
19 bool comb[maxn];
20 int Find(int &s,int &t){
21 bool vis[maxn];
22 int w[maxn];
23 memset(vis,false,sizeof(vis));
24 memset(w,0,sizeof(w));
25 int tmp = INF;
26 for(int i = 0; i < n; ++i){
27 int theMax = -INF;
28 for(int j = 0; j < n; j++)
29 if(!vis[j] && !comb[j] && w[j] > theMax)
30 theMax = w[tmp = j];
31 if(t == tmp) break;
32 s = t;
33 vis[t = tmp] = true;
34 for(int j = 0; j < n; j++)
35 if(!vis[j] && !comb[j])
36 w[j] += e[t][j];
37 }
38 return w[t];
39 }
40 int solve(){
41 int ans = INF,s,t;
42 memset(comb,0,sizeof(comb));
43 for(int i = 1; i < n; i++){
44 s = t = -1;
45 ans = min(ans,Find(s,t));
46 for(int j = 0; j < n; j++){
47 e[s][j] += e[t][j];
48 e[j][s] += e[j][t];
49 }
50 comb[t] = true;
51 }
52 return ans;
53 }
54 int main() {
55 int u,v,w;
56 while(~scanf("%d %d",&n,&m)){
57 memset(e,0,sizeof(e));
58 while(m--){
59 scanf("%d %d %d",&u,&v,&w);
60 e[u][v] += w;
61 e[v][u] += w;
62 }
63 printf("%d\n",solve());
64 }
65 return 0;
66 }
转载自http://blog.sina.com.cn/s/blog_700906660100v7vb.html