点分治：
点分治的题目基本一样，都是路径计数。
其复杂度的保证是依靠 $O(n)$ 找重心的，每一次至少将问题规模减小为原先的$1/2$。
找重心我喜欢$BFS$防止爆栈。
1 int Root(int x){
2 dfsn[0]=0;
3 q.push(x); fa[x]=0;
4 flag[x]=1;
5 while(!q.empty()){
6 int x=q.front(); q.pop();
7 dfsn[++dfsn[0]]=x;
8 for(int i=g[x];i;i=E[i].to)
9 if(!v[p] && !flag[p]){
10 fa[p]=x;
11 flag[p]=1;
12 q.push(p);
13 }
14 }
15 for(int i=1;i<=dfsn[0];i++){
16 siz[dfsn[i]]=1;
17 h[dfsn[i]]=0;
18 flag[dfsn[i]]=0;
19 }
20 int root=0;
21 for(int i=dfsn[0];i>=1;i--){
22 int x=dfsn[i];
23 if(fa[x]){
24 siz[fa[x]]+=siz[x];
25 h[fa[x]]=max(h[fa[x]],siz[x]);
26 }
27 h[x]=max(h[x],dfsn[0]-siz[x]);
28 if(!root || h[x]<h[root]) root=x;
29 }
30 return root;
31 }
故总共有 $O(logn)$ 层。
在每一层我们分别对不同的块（删点而形成）采用 $O(siz[p])$ 的算法。
主定理 $T(n) = T(n/2) + O(n)$
总体上是 $O(nlogn)$
大体框架如下
1 void DC(int x){
2 v[x]=1;
3 for(int i=g[x];i;i=E[i].to)
4 if(!v[p]){
5 // 大体上是f[x]*ft[x]就是
6 // Ans = (之前的子树的路径数)*（当前子树的路径数）
7 }
8 // 将标记什么的清空，注意保证复杂度是O(siz)不是O(n)
9 for(int i=g[x];i;i=E[i].to)
10 if(!v[p]) DC(Root(p));
11 }
然后对于点分治路径的统计，通常有dp，数据结构，数论等等的方法。
注意：要记得上面的方法没有统计以点x为起点的路径条数，记得加上。
例题：
BZOJ 3697
题意：
给出一棵树，每一条边为黑或白，统计满足条件的路径数
1.路径上黑色和白色的个数相等
2.路径上存在一个点使得起点到当前点黑色和白色的个数相等，此点不能是起点终点。
乍一看是没有解法的，套用点分治。
问题转化为统计过点x的合法路径条数。
套用dp
$f(x,0)$ 表示和为x，无休息站的
$f(x,1)$ 表示和为x，有休息站的
$$ans = f(0,0) * ft(0,0) + \sum_{i=-d}^d {f(i,0) \cdot ft(-i,1) + f(i,1) \cdot ft(-i,0) + f(i,1) \cdot ft(-i,1)} $$
条件2可以转化为在当前点到x的路径上有点的$dis(p) = dis(now)$
所以注意保证初始化的复杂度
所以记录一下当前的最大深度，初始化 $f$ 数组和 $ft$ 数组的时候从0循环到 $max deep$
1 #include <cstdio>
2 #include <cstring>
3 #include <algorithm>
4 #include <queue>
5
6 #define N 400010
7 #define p E[i].x
8 #define LL long long
9 #define debug(x) cout<<#x<<" = "<<x<<endl;
10
11 /*
12 树形dp
13 f(x,0) 表示和为x，无休息站的
14 f(x,1) 表示和为x，有休息站的
15 ans = f[0][0] * ft[0][0] +
16 ∑ f[i][0]*ft[-i][1] + f[i][1]*ft[-i][0] + f[i][1]*ft[-i][1]
17 (-d <= i <= d)
18 */
19
20 using namespace std;
21
22 struct edge{
23 int x,to,v;
24 }E[N<<1];
25
26 int n,totE;
27 int g[N],dfsn[N],fa[N],siz[N],h[N];
28 bool v[N],flag[N];
29 LL ans;
30 LL f[N][2],ft[N][2];
31 queue<int> q;
32
33 void ade(int x,int y,int v){
34 E[++totE]=(edge){y,g[x],v}; g[x]=totE;
35 }
36
37 int Root(int x){
38 dfsn[0]=0;
39 q.push(x); fa[x]=0;
40 flag[x]=1;
41 while(!q.empty()){
42 int x=q.front(); q.pop();
43 dfsn[++dfsn[0]]=x;
44 for(int i=g[x];i;i=E[i].to)
45 if(!v[p] && !flag[p]){
46 fa[p]=x;
47 flag[p]=1;
48 q.push(p);
49 }
50 }
51 for(int i=1;i<=dfsn[0];i++){
52 siz[dfsn[i]]=1;
53 h[dfsn[i]]=0;
54 flag[dfsn[i]]=0;
55 }
56 int root=0;
57 for(int i=dfsn[0];i>=1;i--){
58 int x=dfsn[i];
59 if(fa[x]){
60 siz[fa[x]]+=siz[x];
61 h[fa[x]]=max(h[fa[x]],siz[x]);
62 }
63 h[x]=max(h[x],dfsn[0]-siz[x]);
64 if(!root || h[x]<h[root]) root=x;
65 }
66 return root;
67 }
68
69 int mxdep;
70 int cnt[N],d[N],dis[N];
71
72 void dfs(int x,int fa){
73 mxdep=max(mxdep,d[x]);
74 if(cnt[dis[x]]) ft[dis[x]][1]++;
75 else ft[dis[x]][0]++;
76 cnt[dis[x]]++;
77 for(int i=g[x];i;i=E[i].to)
78 if(p!=fa&&!v[p]){
79 d[p]=d[x]+1;
80 dis[p]=dis[x]+E[i].v;
81 dfs(p,x);
82 }
83 cnt[dis[x]]--;
84 }
85
86 void DC(int x){
87 v[x]=1;
88 f[n][0]=1;
89 int mx=0;
90 for(int i=g[x];i;i=E[i].to)
91 if(!v[p]){
92 dis[p]=n+E[i].v;
93 d[p]=mxdep=1;
94 dfs(p,p);
95 mx=max(mx,mxdep);
96 ans+=(f[n][0]-1)*ft[n][0];
97 for(int j=-mxdep;j<=mxdep;j++){
98 ans+=ft[n-j][1]*f[n+j][1]+
99 ft[n-j][0]*f[n+j][1]+ft[n-j][1]*f[n+j][0];
100 }
101 for(int j=n-mxdep;j<=n+mxdep;j++){
102 f[j][0]+=ft[j][0];
103 f[j][1]+=ft[j][1];
104 ft[j][0]=ft[j][1]=0;
105 }
106 }
107 for(int i=n-mx;i<=n+mx;i++)
108 f[i][0]=f[i][1]=0;
109 for(int i=g[x];i;i=E[i].to)
110 if(!v[p]) DC(Root(p));
111 }
112
113
114 int main(){
115 scanf("%d",&n);
116 for(int i=1,x,y;i<n;i++){
117 int v;
118 scanf("%d%d%d",&x,&y,&v);
119 if(!v) v=-1;
120 ade(x,y,v); ade(y,x,v);
121 }
122 DC(Root(1));
123 printf("%lld\n",ans);
124 return 0;
125 }
然后是HDU 4812
题意：给出一棵树，每一个点有一个点权，找到一条点权乘积为K的路径，输出起点和终点，要求字典序最小。
求一下逆元，然后用map记录前面的所有子树能够到达的权值（乘积）
注意这是点权，不同于边权，所以在处理过点x的路径的时候要谨慎，我的做法是将路径拆为 x点 ， 之前子树中的一条链， 当前子树中的一条链。
用map复杂度多一个log，然而也能过。
1 #include <cstdio>
2 #include <cstring>
3 #include <algorithm>
4 #include <map>
5 #include <queue>
6
7 #define N 400010
8 #define LL long long
9 #define mod 1000003
10 #define p E[i].x
11 #define INF 0x3f3f3f3f
12 #define ipos map<int,int>::iterator
13
14 using namespace std;
15
16 struct edge{
17 int x,to;
18 }E[N<<1];
19
20 map<int,int> ft,f;
21 int n,ansv[2],totE,K;
22 int h[N],g[N],siz[N],a[N],fa[N],dfsn[N],dis[N];
23 bool v[N],flag[N];
24 queue<int> q;
25
26 int add(int a,int b){
27 if(a+b>=mod) return a+b-mod;
28 return a+b;
29 }
30
31 int mul(int a,int b){
32 return (int)((LL)a*(LL)b%mod);
33 }
34
35 int qpow(int x,int n){
36 int ans=1;
37 for(;n;n>>=1,x=mul(x,x))
38 if(n&1) ans=mul(ans,x);
39 return ans;
40 }
41
42 int inv(int x){
43 return (int)qpow((LL)x,mod-2LL);
44 }
45
46 void ade(int x,int y){
47 E[++totE]=(edge){y,g[x]}; g[x]=totE;
48 }
49
50 int Root(int x){
51 dfsn[0]=0;
52 q.push(x); fa[x]=0;
53 flag[x]=1;
54 while(!q.empty()){
55 int x=q.front(); q.pop();
56 dfsn[++dfsn[0]]=x;
57 for(int i=g[x];i;i=E[i].to)
58 if(!v[p] && !flag[p]){
59 fa[p]=x;
60 flag[p]=1;
61 q.push(p);
62 }
63 }
64 for(int i=1;i<=dfsn[0];i++){
65 siz[dfsn[i]]=1;
66 h[dfsn[i]]=0;
67 flag[dfsn[i]]=0;
68 }
69 int root=0;
70 for(int i=dfsn[0];i>=1;i--){
71 int x=dfsn[i];
72 if(fa[x]){
73 siz[fa[x]]+=siz[x];
74 h[fa[x]]=max(h[fa[x]],siz[x]);
75 }
76 h[x]=max(h[x],dfsn[0]-siz[x]);
77 if(!root || h[x]<h[root]) root=x;
78 }
79 return root;
80 }
81
82 void bfs(int x){
83 dfsn[0]=0;
84 q.push(x); flag[x]=1;
85 while(!q.empty()){
86 int x=q.front(); q.pop();
87 dfsn[++dfsn[0]]=x;
88 if(!ft.count(dis[x]) || ft[dis[x]]>x)
89 ft[dis[x]]=x;
90 for(int i=g[x];i;i=E[i].to)
91 if(!v[p] && !flag[p]){
92 flag[p]=1;
93 dis[p]=mul(dis[x],a[p]);
94 q.push(p);
95 }
96 }
97 for(int i=1;i<=dfsn[0];i++)
98 flag[dfsn[i]]=0;
99 }
100
101 void upd(int a,int b){
102 if(a>b) swap(a,b);
103 if(ansv[0]>a || ansv[0]==a&&ansv[1]>b){
104 ansv[0]=a;
105 ansv[1]=b;
106 }
107 }
108
109 void DC(int x){
110 // printf("node : %d\n",x);
111 v[x]=1;
112 f.clear();
113 f[1]=x;
114 for(int i=g[x];i;i=E[i].to)
115 if(!v[p]){
116 ft.clear();
117 dis[p]=a[p];
118 bfs(p);
119 for(ipos it=ft.begin();it!=ft.end();it++){
120 int tmp=(*it).first;
121 if(f.count(mul(mul(K,inv(tmp)),inv(a[x])))){
122 upd(f[mul(mul(K,inv(tmp)),inv(a[x]))],
123 (*it).second);
124 }
125 }
126 for(ipos it=ft.begin();it!=ft.end();it++){
127 if(!f.count((*it).first)) f[(*it).first]=(*it).second;
128 else f[(*it).first]=min(f[(*it).first],(*it).second);
129 }
130 }
131 for(int i=g[x];i;i=E[i].to)
132 if(!v[p]) DC(Root(p));
133 }
134
135 int main(){
136 // freopen("test.in","r",stdin);
137 while(scanf("%d%d",&n,&K)==2){
138 ansv[0]=ansv[1]=INF;
139 totE=0;
140 for(int i=1;i<=n;i++) g[i]=0;
141 for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]),v[i]=0;
142 for(int i=1,x,y;i<n;i++){
143 int v;
144 scanf("%d%d",&x,&y);
145 ade(x,y);
146 ade(y,x);
147 }
148 DC(Root(1));
149 if(ansv[0]==INF) puts("No solution");
150 else printf("%d %d\n",ansv[0],ansv[1]);
151 }
152 return 0;
153 }
最后是 国家集训队的 crash的文明世界
题意：
定义：
求所有点的S(i)
很显然是点分治，斯特林数是什么，我不会 TAT
记录$f(i)$表示$\sum {dist(p,x)^i }$，$ft$同理
考虑每一次统计过x的路径时将过x的路径的影响加入子树中的点，同时在最后将$S(i)$加上$f(K)$
坑点就是合并的时候要用一下 二项式展开
$$ S(p) += \sum_{i=0}^K {C(K,i) * f(K-i) * b^i}$$
然后注意要统计全路径，所以上面的框架不适用（上面的框架对于当前子树只能统计遍历过的子树，而应该是统计所有除了当前子树的权值和）
然后就可以了，自己歪歪（看不懂题解），一遍AC爽。
1 #include <cstdio>
2 #include <cstring>
3 #include <algorithm>
4 #include <queue>
5
6 #define N 200010
7 #define mod 10007
8 #define M 310
9 #define p E[i].x
10
11 using namespace std;
12 /*
13 f[j] 之前的 dist(x,p)^j
14 ft[j] 当前的 dist(x,p)^j
15 S[p] += ∑C(K,i) * a^{K-i} * b^i (0<=i<=K)
16 O(lognK)
17 */
18
19 int n,K,totE;
20 int g[N],f[M],siz[N],h[N],fa[N],dfsn[N],S[N],d[N];
21 int C[M][M];
22 bool v[N],flag[N];
23 queue<int> q;
24
25 int add(int a,int b){
26 if(a+b>=mod) return a+b-mod;
27 return a+b;
28 }
29
30 int mul(int a,int b){
31 return a*b%mod;
32 }
33
34 struct edge{
35 int x,to;
36 }E[N<<1];
37
38 void ade(int x,int y){
39 E[++totE]=(edge){y,g[x]}; g[x]=totE;
40 }
41
42 int qpow(int x,int n){
43 int ans=1;
44 for(;n;n>>=1,x=mul(x,x))
45 if(n&1) ans=mul(ans,x);
46 return ans;
47 }
48
49 int Root(int x){
50 dfsn[0]=0;
51 q.push(x); fa[x]=0;
52 flag[x]=1;
53 while(!q.empty()){
54 int x=q.front(); q.pop();
55 dfsn[++dfsn[0]]=x;
56 for(int i=g[x];i;i=E[i].to)
57 if(!v[p] && !flag[p]){
58 fa[p]=x;
59 flag[p]=1;
60 q.push(p);
61 }
62 }
63 for(int i=1;i<=dfsn[0];i++){
64 siz[dfsn[i]]=1;
65 h[dfsn[i]]=0;
66 flag[dfsn[i]]=0;
67 }
68 int root=0;
69 for(int i=dfsn[0];i>=1;i--){
70 int x=dfsn[i];
71 if(fa[x]){
72 siz[fa[x]]+=siz[x];
73 h[fa[x]]=max(h[fa[x]],siz[x]);
74 }
75 h[x]=max(h[x],dfsn[0]-siz[x]);
76 if(!root || h[x]<h[root]) root=x;
77 }
78 return root;
79 }
80
81 void bfs(int x){
82 dfsn[0]=0; d[x]=1;
83 q.push(x); flag[x]=1;
84 while(!q.empty()){
85 int x=q.front(); q.pop();
86 dfsn[++dfsn[0]]=x;
87 for(int i=g[x];i;i=E[i].to)
88 if(!v[p] && !flag[p]){
89 d[p]=d[x]+1;
90 flag[p]=1;
91 q.push(p);
92 }
93 }
94 for(int i=1;i<=dfsn[0];i++){
95 int tmp=1;
96 for(int j=0;j<=K;j++){
97 f[j]=add(f[j],tmp);
98 tmp=mul(tmp,d[dfsn[i]]);
99 }
100 flag[dfsn[i]]=0;
101 }
102 }
103
104 int power[M];
105
106 void solve(int rt){
107 dfsn[0]=0; d[rt]=1;
108 q.push(rt); flag[rt]=1;
109 while(!q.empty()){
110 int x=q.front(); q.pop();
111 dfsn[++dfsn[0]]=x;
112 for(int i=g[x];i;i=E[i].to)
113 if(!v[p] && !flag[p]){
114 d[p]=d[x]+1;
115 flag[p]=1;
116 q.push(p);
117 }
118 }
119 for(int i=1;i<=dfsn[0];i++){
120 int tmp=1;
121 for(int j=0;j<=K;j++){
122 f[j]=(f[j]-tmp+mod)%mod;
123 tmp=mul(tmp,d[dfsn[i]]);
124 }
125 }
126 // printf("son : %d\n",rt);
127 // for(int i=0;i<=K;i++){
128 // printf("%d%c",f[i],i==K?‘\n‘:‘ ‘);
129 // }
130 for(int t=1;t<=dfsn[0];t++){
131 int x=dfsn[t];
132 flag[x]=0;
133 power[0]=1;
134 for(int i=1;i<=K;i++) power[i]=mul(power[i-1],d[x]);
135 for(int i=0;i<=K;i++){
136 // printf("addto %d = %d\n",x,mul(C[K][i], mul(f[K-i],power[i])));
137 S[x] = add(S[x], mul(C[K][i], mul(f[K-i],power[i])));
138 }
139 S[x]=add(S[x],power[K]);
140 }
141 // S[x]=add(S[x],power[K]);
142 for(int i=1;i<=dfsn[0];i++){
143 int tmp=1;
144 for(int j=0;j<=K;j++){
145 f[j]=add(f[j],tmp);
146 tmp=mul(tmp,d[dfsn[i]]);
147 }
148 }
149 }
150 //S[p] += ∑C(K,i) * a^{K-i} * b^i (0<=i<=K)
151 void DC(int x){
152 v[x]=1;
153 // printf("node : %d\n",x);
154 // for(int i=1;i<=dfsn[0];i++)
155 // printf("%d%c",dfsn[i],i==dfsn[0]?‘\n‘:‘ ‘);
156 for(int i=0;i<=K;i++) f[i]=0;
157 for(int i=g[x];i;i=E[i].to)
158 if(!v[p]) bfs(p);
159 // printf("before\n");
160 // for(int i=0;i<=K;i++) printf("%d%c",f[i],i==K?‘\n‘:‘ ‘);
161 for(int i=g[x];i;i=E[i].to)
162 if(!v[p]) solve(p);
163 S[x]=add(S[x],f[K]);
164 // printf("base = %d\n",f[K]);
165 for(int i=g[x];i;i=E[i].to)
166 if(!v[p]) DC(Root(p));
167 }
168
169 int main(){
170 freopen("civilization.in","r",stdin);
171 freopen("civilization.out","w",stdout);
172 scanf("%d%d",&n,&K);
173 C[0][0]=1;
174 for(int i=1;i<=K;i++){
175 C[i][0]=1;
176 for(int j=1;j<=i;j++)
177 C[i][j]=add(C[i-1][j-1],C[i-1][j]);
178 }
179 int L,now,A,B,Q,tmp;
180 scanf("%d%d%d%d%d",&L,&now,&A,&B,&Q);
181 for(int i=1,x,y;i<n;i++){
182 now=(now*A+B)%Q;
183 tmp=(i<L)? i:L;
184 x=i-now%tmp;
185 y=i+1;
186 ade(x,y);
187 ade(y,x);
188 }
189 DC(Root(1));
190 for(int i=1;i<=n;i++){
191 printf("%d\n",S[i]);
192 }
193 return 0;
194 }
总结完了点分治，NOI必胜。
时间： 2024-12-18 04:34:31