复变函数吧一个证明题

题目：如果$|z|=1,$证明：$$|\frac{z-a}{1-\overline a z}|=1.$$

证明：本题使用分析法：要证$$|\frac{z-a}{1-\overline az}|=1$$

即$$|z-a|^2=|1-\overline az|^2.$$

需证$$(z-a)(\overline z-\overline a)=(1-\overline a z)(1-a\overline z)$$

两边展开有：$$1-(z\overline a+a\overline z)+a\overline a=1-(z\overline a+a\overline z)+a\overline a.$$

显然成立.