题目背景
金企鹅同学非常擅长用1*2的多米诺骨牌覆盖棋盘的题。有一天，正 在背四六级单词的他忽然想：既然两个格子的积木叫“多米诺(domino)”，那 么三个格子的的积木一定叫“三米诺(tromino)”了！用三米诺覆盖棋盘的题 怎么做呢？
题目描述
用三米诺覆盖3n 的矩形棋盘，共多少种方案？三米诺可旋转；两种 方案不同当且仅当这两种图案直接覆盖在一起无法重叠。
输入输出格式
输入格式：
一行一个整数n(n<=10^40000)，表示棋盘列数。
输出格式：
一行一个整数，表示方案数，对998244353 取模。
输入输出样例
输入样例#1
2
输出样例#1
3
输入样例#2
3
输出样例#2
10
输入样例#3
29
输出样例#3
543450786
说明
对于10% 的数据，n <=5；
对于30% 的数据，n <=10^6；
对于40% 的数据，n <=20001000；
对于60% 的数据，n <=10^9；
对于80% 的数据，n <=10^1000
对于100% 的数据，n<=10^40000。
这题先爆搜把前面几项打表出来，然后上OEIS高斯消元把各项系数求出来，设a（n）为填满前n列的方案最后其实你可以得到一个东西
很显然直接上矩阵快速幂就可以了
但是数字这么大没法快速幂，发现一般的快速幂是2进制，我们就写十进制快速幂套一个二进制快速幂就可以了，其实我写了很久好难啊woc怎么会有这种东西就是按位快速幂就可以了（逃
取模多加点数字。。。负数把我坑惨了，顺便因为前六项只能打表，所以矩阵要乘n-6次，但字符串不好操作于是乘上6次矩阵的逆就可以了
code：
1 #include<iostream>
2 #include<cstring>
3 #include<cstdio>
4 using namespace std;
5 const long long mod=998244353;
6 struct matrix{
7 long long a[7][7];
8 };
9 long long chang[7][7]={
10 {0,0,0,0,0,0,0},
11 {0,1,1,0,0,0,0},
12 {0,2,0,1,0,0,0},
13 {0,6,0,0,1,0,0},
14 {0,1,0,0,0,1,0},
15 {0,0,0,0,0,0,1},
16 {0,-1,0,0,0,0,0},
17 };
18 long long fan[7][7]={
19 {0,0,0,0,0,0,0},
20 {0,0,0,0,0,0,-1},
21 {0,1,0,0,0,0,1},
22 {0,0,1,0,0,0,2},
23 {0,0,0,1,0,0,6},
24 {0,0,0,0,1,0,1},
25 {0,0,0,0,0,1,0},
26 };
27 matrix mul(matrix a,matrix b){
28 matrix c;
29 memset(c.a,0,sizeof c.a);
30 for(long long i=1;i<=6;i++){
31 for(long long j=1;j<=6;j++){
32 for(long long k=1;k<=6;k++){
33 c.a[i][j]+=(a.a[i][k]%mod*b.a[k][j])%mod;
34 c.a[i][j]%=mod;
35 }
36 }
37 }
38 return c;
39 }
40 matrix ksm(matrix a,long long b){
41 matrix ans;
42 memset(ans.a,0,sizeof ans.a);
43 ans.a[1][1]=ans.a[2][2]=ans.a[3][3]=ans.a[4][4]=ans.a[5][5]=ans.a[6][6]=1;
44 for(;b;b>>=1){
45 // cout<<b<<‘\n‘;
46 if(b&1)ans=mul(ans,a);
47 a=mul(a,a);
48 }
49 return ans;
50 }
51 void tiaoshi(matrix ans){
52 for(long long i=1;i<=6;i++){
53 for(long long j=1;j<=6;j++)
54 cout<<ans.a[i][j]<<" ";
55 cout<<‘\n‘;
56 }
57 }
58 int main(){
59 freopen("tromino.in","r",stdin);
60 freopen("tromino.out","w",stdout);
61 string n;
62 cin>>n;
63 if(n.size()==1&&n[0]<=‘6‘){
64 if(n=="1")cout<<1;
65 if(n=="2")cout<<3;
66 if(n=="3")cout<<10;
67 if(n=="4")cout<<23;
68 if(n=="5")cout<<62;
69 if(n=="6")cout<<170;
70 return 0;
71 }
72 matrix base,ans;
73 memset(ans.a,0,sizeof ans.a);
74 memset(base.a,0,sizeof base.a);
75 for(long long i=1;i<=6;i++)
76 for(long long j=1;j<=6;j++)
77 base.a[i][j]=chang[i][j];
78 ans.a[1][1]=ans.a[2][2]=ans.a[3][3]=ans.a[4][4]=ans.a[5][5]=ans.a[6][6]=1;
79 // for(long long i=1;i<=6;i++){
80 // for(long long j=1;j<=6;j++)
81 // cout<<base.a[i][j]<<" ";
82 // cout<<‘\n‘;
83 // }
84 for(long long i=n.size()-1;i>=0;i--){
85 long long num=n[i]-‘0‘;
86 // tiaoshi(ans);
87 // cout<<‘\n‘;
88 // cout<<num<<endl;
89 ans=mul(ans,ksm(base,num));
90 // tiaoshi(ans);
91 base=ksm(base,10);
92 }
93 matrix ni;
94 for(long long i=1;i<=6;i++)
95 for(long long j=1;j<=6;j++)
96 ni.a[i][j]=fan[i][j];
97 for(long long i=1;i<=6;i++){
98 ans=mul(ans,ni);
99 }
100 cout<<(mod*3+ans.a[1][1]*170%mod+ans.a[2][1]*62%mod+ans.a[3][1]*23%mod+ans.a[4][1]*10%mod+ans.a[5][1]*3%mod+ans.a[6][1]*1%mod)%mod;
101 return 0;
102 }
优秀的复杂度（误
over
原文地址：https://www.cnblogs.com/saionjisekai/p/9742200.html
时间： 2024-11-29 09:29:18