[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题6.10

10. 非本原指标为 $k$ 的 $n$ 阶不可约非负矩阵的正元素的个数可能是哪些数呢?

解答: 只需利用定理 6.28 (Frobenius), 探讨 $$\bex f(x_1,\cdots,x_n)=\sum_{i=1}^n x_ix_{i+1} \eex$$ 在条件 $$\bex x_i>0,\quad\sum_{i=1}^n x_i=n \eex$$ 下的最小最大值. 这个我已经注意到了, 不过叫我去做, 可能还是做不出来, 或者说做不全. 努力哦, 有了想法必须要去实现, 不然梦想终归是幻想. 参考 [X.Z. Zhan, Extremal numbers of positive entries of imprimitive nonnegative matrices, Linear Algebra Appl., 424 (2007), 132--138], 我们有非本原指标为 $k$ 的 $n$ 阶不可约非负矩阵的正元素的个数 $\sigma$ 的范围为 $$\bex k\leq 4\ra 2n-k\leq \sigma\leq \sez{\frac{n^2}{k}}; \eex$$ $$\bex k\geq 5\ra 2n-k\leq \sigma\leq 2n-k+\sez{\frac{(n-k)^2}{4}}. \eex$$

时间： 2024-12-20 13:59:50

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14. 如果映射 $f:M_n\to M_n$ 按某个固定的模式将 $M_n$ 中的每个矩阵的元素重排, 则称 $f$ 为一个置换算子. 怎样的置换算子保持矩阵的特征值不变? 保持秩不变? 解答: 置换算子 $f$ 保持矩阵的特征值不变当且仅当存在置换矩阵 $P$, 使得 $$\bex f(A)=PAP^T,\quad \forall\ A\in M_n; \eex$$ 或 $$\bex f(A)=PA^TP^T,\quad \forall\ A\in M_n. \eex$$ 置换算子 $f$

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8. 设 $k\leq m\leq n$. 怎样的矩阵 $A\in M_{m,n}$ 的每条对角线恰好含有 $k$ 个零元素? 解答: 由定理 2.5 (K\"onig), $A$ 的每条对角线都含有 $k$ 个零元素 $\lra$ $A$ 有一个 $r\times s$ 的零子矩阵, $r+s=n+k$; $A$ 有一条对角线含有 $k+1$ 个零元素 $\lra$ $A$ 的任一 $r\times s$ 阶子矩阵非零, $r+s=n+k+1$. 于是 $A$ 的每条对角线恰含有 $k$ 个零

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1. 对于怎样的 $A\in M_m$, $B\in M_n$, $A\otimes B=I$? 解答:     写出     $$\bex     A\otimes B=\sex{\ba{ccc}     a_{11}B&\cdots&a_{1n}B\\     \vdots&\ddots&\vdots\\     a_{n1}B&\cdots&a_{nn}B     \ea}.     \eex$$     要使 $A\otimes B=I$, 当且仅当

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