Pascal's Triangle 2 杨辉三角之二

Given an index k, return the kth row of the Pascal‘s triangle.

For example, given k = 3,
Return [1,3,3,1].

Note:
Could you optimize your algorithm to use only O(k) extra space?

杨辉三角想必大家并不陌生,应该最早出现在初高中的数学中,其实就是二项式系数的一种写法。

        1
       1 1
      1 2 1
     1 3 3 1
    1 4 6 4 1
   1 5 10 10 5 1
  1 6 15 20 15 6 1
 1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1

杨辉三角形第n层(顶层称第0层,第1行,第n层即第n+1行,此处n为包含0在内的自然数)正好对应于二项式展开的系数。例如第二层1 2 1是幂指数为2的二项式展开形式的系数。

杨辉三角主要有下列五条性质:

  1. 杨辉三角以正整数构成,数字左右对称,每行由1开始逐渐变大,然后变小,回到1。
  2. 行的数字个数为个。
  3. 行的第个数字为组合数
  4. 行数字和为
  5. 除每行最左侧与最右侧的数字以外,每个数字等于它的左上方与右上方两个数字之和(也就是说,第行第个数字等于第行的第个数字与第个数字的和)。这是因为有组合恒等式:。可用此性质写出整个杨辉三角形。

由于题目有额外限制条件,程序只能使用O(k)的额外空间,那么这样就不能把每行都算出来,而是要用其他的方法, 我最先考虑用的是第三条性质,算出每个组合数来生成第n行系数,代码如下:

class Solution {
public:
    vector<int> getRow(int rowIndex) {
        vector<int> out;
        if (rowIndex < 0) return out;

        for (int i = 0; i <= rowIndex; ++i) {
            if ( i == 0 || i == rowIndex)
                out.push_back(1);
            else
                out.push_back (computeCnk(rowIndex, i));
        }
        return out;
    }

    int computeCnk(int n, int k) {
        if (k > n) return 0;
        else if (k > n/2) k = n - k;
        int numerator = 1, denomator = 1;
        for (int i = 0; i < k; ++i) {
            numerator *= n - i;
            denomator *= k - i;
        }
        if (denomator != 0) return numerator/denomator;
        else return 0;
    }
};

本地调试输出前十行,没啥问题,拿到OJ上测试,程序在第18行跪了,中间有个系数不正确。那么问题出在哪了呢,仔细找找,原来出在计算组合数那里,由于算组合数时需要算连乘,而整形数int的数值范围只有-32768到32768之间,那么一旦n值过大,连乘肯定无法计算。而丧心病狂的OJ肯定会测试到成百上千行,所以这个方法不行。那么我们再来考虑利用第五条性质,除了第一个和最后一个数字之外,其他的数字都是上一行左右两个值之和。那么我们只需要两个for循环,除了第一个数为1之外,后面的数都是上一次循环的数值加上它前面位置的数值之和,不停地更新每一个位置的值,便可以得到第n行的数字,具体实现代码如下:

class Solution {
public:
    vector<int> getRow(int rowIndex) {
        vector<int> out;
        if (rowIndex < 0) return out;

        out.assign(rowIndex + 1, 0);
        for (int i = 0; i <= rowIndex; ++i) {
            if ( i == 0) {
                out[0] = 1;
                continue;
            }
            for (int j = rowIndex; j >= 1; --j) {
                out[j] = out[j] + out[j-1];
            }
        }
        return out;
    }
};

Pascal's Triangle 2 杨辉三角之二

时间: 2024-10-10 09:09:32

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