糖果大战
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Problem Description
生日Party结束的那天晚上，剩下了一些糖果，Gandon想把所有的都统统拿走，Speakless于是说：“可以是可以，不过我们来玩24点，你不是已经拿到了一些糖果了吗？这样，如果谁赢一局，就拿走对方一颗糖，直到拿完对方所有的糖为止。”如果谁能算出来而对方算不出来，谁就赢，但是如果双方都能算出或者都不能，就算平局，不会有任何糖果的得失。
Speakless是个喜欢提前想问题的人，既然他发起了这场糖果大战，就自然很想赢啦（不然可就要精光了-_-）。现在他需要你的帮忙，给你他每局赢的概率和Gardon每局赢的概率，请你给出他可能获得这场大战胜利的概率。
Input
每行有四个数，Speakless手上的糖果数N、Gardon手上的糖果数M(0<=N,M<=50)、一局Speakless能解答出来的概率p、一个问题Gardon能解答出来的概率q(0<=p,q<=1)。
Output
每行一个数，表示Speakless能赢的概率（用百分比计算，保留到小数点后2位）。
Sample Input
50 50 0.5 0.5 10 10 0.51 0.5 50 50 0.51 0.5
Sample Output
0.50 0.60 0.88
Author
Speakless
Source
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其实这道题超出了我的解题范围和知识体系......刚开始看解析的时候，有人提到Markov process.查了一下，简直一头雾水，
似乎是关于概论论的某个性质或者定理.......总之没有看懂......但是一位神牛用高中数学的方法解析了这道题......
不会的Oier一起学习学习!感谢 何秀枝分享他的解题技巧！
这是一个概率题，首先我们必须清楚我们要求的是什么！
设f(i)表示Speakless有i颗糖果的时候赢的概率，我们要求的就是f(n)
则根据题意我们知道,这时候:
1.Speakless赢这一局的概率是p(1-q),即f(i)变成f(i+1)
2.Speakless输这一局的概率是q(1-p),即f(i)变成f(i-1)
3.Speakless平这一局的概率是1-p(1-q)-q(1-p),即f(i)变成f(i)
因此：
f(i) = p(1-q)*f(i+1) + q(1-p)*f(i-1) + (1-p(1-q)-q(1-p))*f(i)
稍微变形：
p(1-q)*(f(i+1)-f(i)) = q(1-p)*(f(i)-f(i-1))令g(i)=f(i)-f(i-1),
则有p(1-q)*g(i) = q(1-p)g(i-1),即g(i)是等比数列,
设k=q(1-p)/(p(1-q))，则g(i) = k*g(i-1)
g(1) = f(1)-f(0)
g(2) = f(1)-f(0)
...
g(n) = f(n)-f(n-1)
...
g(n+m) = f(n+m)-f(n+m-1)
将上面的各个等式相加的：g(1)+g(2)+...+g(n+m)=f(n+m)-f(0)=1
g(1)+g(2)+...+g(n+m)=g(1)*(1-k^(n+m))/(1-k)
g(1)+g(2)+...+g(n)=g(1)*(1-k^(n))/(1-k)
回到开始定义，我们知道f(0)=0 (表示已经输了)，f(n+m)=1(表示已经赢了)
g(1)=f(1)-f(0)=f(1)
因此g(1)+g(2)+...+g(n+m) = f(1)*(1-k^(n+m))/(1-k)=1............................................（1）
g(1)+g(2)+...+g(n) = f(1)*(1-k^(n))/(1-k)=f(n)...................................................（2）
我们要求的就是f(n)，在（2）式中，只要f(1)是未知的，因此需要更（1）先求出f(1).最终f(n)=(1-k^n)/(1-k^(m+n))需要注意的几个地方：N==0、M==0、p==0、q==0、p==q集中特殊情况！
c++代码:
#include <iostream>
#include <iomanip>
#include <cmath>
using namespace std;
int main()
{
int N,M;
double p,q,rate,k;
while(cin>>N>>M>>p>>q)
{
if(N==0){cout<<"0.00"<<endl;continue;}
if(M==0){cout<<"1.00"<<endl;continue;}
if(p==0||q==1){cout<<"0.00"<<endl;continue;}
if(q==0||p==1){cout<<"1.00"<<endl;continue;}
if(p==q) rate=1.0*N/(M+N); M,N不一定等于0.5
else
{
k = q*(1-p)/(p*(1-q));
rate = (1.0-pow(k,N))/(1.0-pow(k,M+N)); 【幂运算】
}
cout<<fixed<<setprecision(2)<<rate<<endl; 【设置浮点数输出的有效数字位数】
}
return 0;
}
Java代码:
import java.io.*;
import java.util.*;
public class Main
{
public static void main(String[] args)
{
// TODO Auto-generated method stub
Scanner input = new Scanner(System.in);
while (input.hasNext())
{
double N = input.nextDouble(); // Speakless手上的糖果数N
double M = input.nextDouble(); // Gardon手上的糖果数M
double p = input.nextDouble(); // Speakless能解答出来的概率p
double q = input.nextDouble(); // Gardon能解答出来的概率q
if (N == 0)
{
System.out.println("0.00");
continue;
}
if (M == 0)
{
System.out.println("1.00");
continue;
}
if (p == 0 && q == 1)
{
System.out.println("0.00");
continue;
}
if (p == 1 && q == 0)
{
System.out.println("1.00");
continue;
}
if (p == q)
{
System.out.printf("%.2f", N / (N + M));
System.out.println();
}
else
{
double k = q * (1 - p) / (p * (1 - q));
double rate = (1 - Math.pow(k, N)) / (1 - Math.pow(k, N + M));
System.out.printf("%.2f", rate);
System.out.println();
}
}
}
}
附上作者原文地址:http://acm.hdu.edu.cn/discuss/problem/post/reply.php?postid=13123&messageid=1&deep=0