积分不等式

设函数 $f$ 在 $[0,1]$ 上有连续的二阶导数且 $f(0)=f(1)=0$, 但 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上不恒等于零. 证明: $$\bex |f(x)|\leq \cfrac{1}{4}\int_0^1 |f''(x)|\rd x,\quad \forall\ x\in [0,1]. \eex$$ [再寄小读者之数学篇](2014-06-14 [四川师范大学 2014 年数学分析考研试题] 积分不等式),布布扣,bubuko.com

设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上一阶连续可导, $f(a)=0$. 证明: $$\bex \int_a^b f^2(x)\rd x\leq \cfrac{(b-a)^2}{2}\int_a^b [f'(x)]^2\rd x -\cfrac{1}{2}\int_a^b [f'(x)]^2 (x-a)^2\rd x. \eex$$ 证明: $$\beex \bea \int_a^b f^2(x)\rd x &=\int_a^b \sez{\int_a^xf'(t)\rd t}^2\rd x\

设$f(x)$为$R$上的正值连续函数,若对$\forall t\in R$,有$\int_R$$e^{-\mid t-x\mid}f(x)dx$$\leq$$1$,证明:对$\forall a,b \in R(a<b)$,有$\int_a^bf(x)dx$$\leq$$\frac{b-a}{2}+1$ 证明:记$F(t)=$$\int_a^b$$e^{-\mid t-x\mid}f(x)dx$,从而$\int_a^bF(t)dt$$=$$\int_a^bf(x)dx$$\int_a^b$$e^

\beex \bea f(x)&=\int_a^x f'(t)\rd t,\\ |f(x)|^2&\leq \int_a^x 1^2\rd t\cdot \int_a^x |f'(t)|^2\rd t \leq (a-x)\int_a^b |f'(t)|^2\rd t,\\ \int_a^b |f(x)|^2\rd x &\leq \int_a^b |f'(t)|^2\rd t\cdot \int_a^b (x-a)\rd x =\frac{(b-a)^2}{2} \int_a^b

定理. $$\bex \int_0^1\frac{\ln^2x}{x^x}\rd x<2\int_0^1 \frac{\rd x}{x^x}. \eex$$ 证明: 由分部积分及 Fubini 定理, $$\beex \bea \int_0^1 x^m\ln^nx\rd x&=\frac{(-1)^nn!}{(m+1)^{n+1}},\\ \int_0^1 \frac{\ln^2x}{x^x}\rd x &=\int_0^1 e^{-x\ln x} \ln^2x \rd x =\in

试证: $$\bex 0<\int_0^\infty \frac{\sin t}{\ln(1+x+t)}\rd t<\frac{2}{\ln(1+x)}. \eex$$ 证明: $$\beex \bea \int_0^\infty \frac{\sin t}{\ln(1+x+t)}\rd t &=\sum_{k=0}^\infty\sez{ \int_{2k\pi}^{2k\pi+\pi} \frac{\sin t}{\ln(1+x+t)}\rd t +\int_{2k\pi+\pi}

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