十六、投影矩阵和最小二乘

给出\(n\)组\(m-1\)个自变量的数据点(用\(n\times m\)大小的矩阵\(A\)表示，其中第一列均为1，代表常数项)，以及它们的真实取值(用n维列向量\(b\)表示)，现在需要用一个\(m-1\)元未知数的线性方程来拟合这组数据点。可以用非齐次线性方程组\(AX=b\)表示。

一般来说这个方程组是无解的，即\(b\notin C(A)\)，我们需要找到一个近似的\(\hat b,\hat X\)，使得\(A\hat X=\hat b\)。其中\(b_i\)是第\(i\)个数据点的真实取值，\(\hat b_i\)是第\(i\)个数据点通过拟合直线的近似取值，如下图所示：

在第十五课已经讲过，最小二乘法的损失函数是均方差函数，即：

\[\mathrm{minimize}\ \ \sum_{i=1}^m(b_i-\hat b_i)^2\]

换言之：

\[\mathrm{minimize}\ \ \|b-\hat b\|^2\]

为直观起见，这里的\(\mathrm{dim}C(A)=2\)，则\(b\)投影到\(C(A)\)上的向量\(\hat b\)如图所示，显然\(e=b-\hat b,e\perp C(A)\)，因此此时\(\|e\|=\|b-\hat b\|\)是最小的。

根据第十五节的知识，我们可以令投影矩阵\(P=A(A^TA)^{-1}A^T\)，则：

\[\hat b=Pb=A(A^TA)^{-1}A^Tb\]

\[A\hat X=\hat b\]

上式左右同时左乘\(A^T\)：

\[A^TA\hat X=A^TA(A^TA)^{-1}A^Tb=A^Tb\]

根据这个非齐次线性方程组便可以解出\(\hat X\)，也就能得到这个拟合的直线方程了。

十七、正交矩阵和Gram-Schmidt正交化

正交矩阵和Gram-Schmidt正交化在国内的各类线代教材中都有出现，这里不做过多赘述。

这里值得一提的是，前\(t-1\)个线性无关向量\(\alpha_1\cdots \alpha_{t-1}\)已正交化为\(\beta_1\cdots \beta_{t-1}\)，正交化第\(t\)个向量\(\alpha t\)的过程，就是将其投射到\(C(\beta_1\cdots \beta_{t-1})\)这个空间中，然后获得误差向量的过程。

如上图，若已获得两个正交化的向量\(\beta_1,\beta_2\)，则首先将\(\alpha_3\)投射到\(C(\beta_1,\beta_2)\)得到\(\mathrm{Prj}_{C(\beta_1,\beta_2)}\alpha_3\)

则\(\beta_3=\alpha_3-\mathrm{Prj}_{C(\beta_1,\beta_2)}\alpha_3\)

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