不变子空间

定义：如果T是线性空间V的线性变换，V1是V的子空间，并且对于任意一个x属于V1，都有Tx属于V1，则称V1是T的不变子空间。

注：xxx子空间是xx线性变换的子空间

例子：

（1）任何一个子空间都是数乘变换的子空间

（2）P_n-1是D的不变子空间。Pn-1是一切次数小于n的多项式的集合形成的线性空间，D是多项式求导变换

（3）线性变换T的属于λ0的特征子空间V_λ0是T（某给定的）的不变子空间

（4）整个线性空间V和零子空间，对于每个线性变换T（任意）而言，都是T的不变子空间

（5）线性变换T（某给定的）的值域R（T）与核N（T）都是T的不变子空间

性质：T的不变子空间的交与和仍为线性变换T的不变子空间。

下面定理给出了怎么样使用不变子空间来简化线性变换的矩阵

定理1：设T是线性空间Vn的线性变换，且Vn可分解为s个T的不变子空间的之和。

　　Vn=V1直和V2...直和Vs

又在每个不变子空间中取基，把它们合并起来作为Vn的基，则T在该基下的矩阵为

　　A=diag（A1，A2...As），其中Ai就是T在Vi的基下的矩阵

推论：线性空间Vn的线性变换T在Vn的某个基下的矩阵A为对角矩阵的充要条件是Vn可分解为n个T的一维特征子空间的直和。

　　上面推论更一般的情况是：设T是线性空间Vn的线性变换，λ1，λ2，...，λs是T的全部不同的特征值，则T在某一基下的矩阵为对角矩阵的充要条件是

　　dimV_λ1+dimV_λ2+...+dimV_λs=n