密码箱

在一次偶然的情况下，小可可得到了一个密码箱，听说里面藏着一份古代流传下来的藏宝图，只要能破解密码就能打开箱子，而箱子背面刻着的古代图标，就是对密码的提示。经过艰苦的破译，小可可发现，这些图标表示一个数以及这个数与密码的关系。假设这个数是n，密码为x，那么可以得到如下表述：

密码x大于0，且小于n，而x的平方除以n，得到的余数为1。

小可可知道满足上述条件的x可能不止一个，所以一定要把所有满足条件的x计算出来，密码肯定就在其中。计算的过程是很艰苦的，你能否编写一个程序来帮助小可可呢？（题中ｘ，ｎ均为正整数）

输入：输入文件只有一行，且只有一个数字n(1<=n<=2,000,000,000)。

输出：你的程序需要找到所有满足前面所描述条件的x，如果不存在这样的x，你的程序只需输出一行“None”(引号不输出)，否则请按照从小到大的顺序输出这些x，每行一个数。

样例：

输入：

12

输出：

1

5

7

11

题目大意:求x2≡1(mod n)在x∈[1,n]的所有整数解.

做法:先将式子变形一下

X^2≡1(mod n) -> (x+1)(x-1)=kn(k∈Z)

对于任意解x,总有

X-1=pa

x+1=qb

或

X-1=qb

x+1=pa

其中ab=n且a<b.

分析可得x一定大于sqrt(n)小于n，a*b=n,其中之一大于sqrt(n)，枚举所有可能的值，

这里注意对于每一个sqrt(n)->n内的b||a，总有一个a||b，小于sqrt（n)与其对应，所以   枚举1->sqrt（n），判断n/i可以压缩范围。

那莫我们将x+1取遍所有的b和k2,再将x?1取遍所有的b和k2即可不漏地得到所有解.

时间复杂度不会证…

 1 #include<cstdio>
 2 //#include<vector>
 3 #include<cmath>
 4 #include<algorithm>
 5 //#include<queue>
 6 using namespace std;
 7 int n;
 8 int so[100000],len;
 9 //vector<int>ans;
10 int ans[100000],ls;
11 int main(){
12     freopen("box.in","r",stdin);freopen("box.out","w",stdout);
13     scanf("%d",&n);
14     int ss=(int)sqrt(n+0.5);
15     for(int i=2;i<=ss;i++){
16         if(n%i==0){
17             so[++len]=n/i;
18         }
19     }
20     so[++len]=n;
21     for(int i=1;i<=len;i++){
22         int t=so[i];
23         for(int j=t;j<=n;j+=t){
24             if((j+2)%(n/t)==0&&j+1!=1&&j+1<n) ans[++ls]=j+1;
25             if((j-2)%(n/t)==0&&j-1!=1) ans[++ls]=j-1;
26         }
27     }
28     printf("1\n");
29     sort(ans+1,ans+ls+1);
30     for(int i=1;i<=ls;i++){
31         if(i==1||ans[i]!=ans[i-1]) printf("%d\n",ans[i]);
32     }
33     //while(1);
34 }