前言：在RSA诞生之前
RSA算法是最重要算法之一
它是计算机通信安全的基石，安全可靠
只要有计算机网络的地方，就有RSA算法
在它诞生之前，即1976年以前，加解密信息使用同一种规则
- 甲方选择某一种加密规则，对信息进行加密；
- 乙方使用同一种规则，对信息进行解密。
虽然理论上，只要加解密“规则”（即“密钥”）足够复杂，这种方式也可安全的传递信息
但这种方法最大的弱点就是，密钥在传递的过程中易被泄露
这种加密和解密使用同样规则的方法，被称为“对称加密算法”
RSA算法
倘若在加解密信息的过程中，能让加密密钥（公钥）与解密密钥（私钥）不同，即
- 甲要传密信给乙，乙先根据某种算法得出本次与甲通信的公钥与私钥；
- 乙将公钥传给甲（公钥可以让任何人知道，即使泄露也没有任何关系）；
- 甲使用乙传给的公钥加密要发送的信息原文m，发送给乙密文c；
- 乙使用自己的私钥解密密文c，得到信息原文m .
就可以很好的克服对称加密算法的弱点，这种新的加密模式被称为“非对称加密算法”
可以观察到，从始至终，私钥一直都在信息接收方乙处
只要乙自己不泄露出去，私钥就没有泄露的可能
1977年，三位数学家Rivest、Shamir和Adleman设计了一种算法，可以实现非对称加密
这种算法用他们三个人的名字首字母命名，叫做RSA算法
RSA算法非常可靠，密钥越长，它就越难破解
至于难以破解的原理（安全性），在本文介绍完该算法后会有简要说明
下面，先介绍一些基本概念与数学定理
质数与互质数
这是小学数学的概念
- 一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除（除0以外）的数称之为质数（素数）；否则称为合数。
例如，15＝3×5，所以15不是素数
13除了等于13×1以外，不能表示为其它任何两个整数的乘积，所以13是一个素数
1不是质数，也不是合数
- 公约数只有1的两个数，叫做互质数。
判断或选取互质数的方法/定理有很多，如下所示
- 任意两个质数一定构成互质数（如3与11、53与61）；
- 大数是质数的两个数一定是互质数（如97与88）；
- 一个质数如果不能整除另一个合数，这两个数为互质数；
即一个数是质数，另一个数只要不是前者的倍数，两者就构成互质关系（如3与10、5与26）； - 1和任何一个自然数在一起都是互质数；
- 相邻的两个自然数是互质数（如15与16）；
- 相邻的两个奇数是互质数（如49与51）。
在RSA算法中，我们通常使用以上第1条与第2条
即选取两个本身都是质数的数作为互质数
而以上第2条定理对于计算欧拉函数值有着积极作用
模运算
模运算的定义如下
- 让m去被n整除，只取所得的余数作为结果，就叫做模运算。
例如，10 mod 3 = 1 、26 mod 6 = 2 、28 mod 2 = 0
同余
“≡”是数论中表示同余的符号
同余的定义如下
- 给定一个正整数m，如果两个整数a和b满足a-b能被m整除，即(a-b)modm=0，
那么就称整数a与b对模m同余，记作a≡b(modm)，同时可成立amodm=b
再次提醒注意，同余与模运算是不同的
a≡b(modm)仅可推出b=amodm
欧拉函数
欧拉函数本身需要一系列复杂推导，本部分仅介绍对认识RSA算法有帮助的部分
- 任意给定正整数n，计算在小于等于n的正整数之中，有多少个与n构成互质关系？
计算这个值的方法就叫做欧拉函数，以φ(n)表示.
例如，在1到8之中，与8形成互质关系的是1、3、5、7，所以φ(n)=4
在RSA算法中，我们需要明白欧拉函数对以下定理成立
- 如果n可以分解成两个互质的整数之积，即n=p×q，则有：φ(n)=φ(pq)=φ(p)φ(q);
- 根据“大数是质数的两个数一定是互质数”可以知道：
一个数如果是质数，则小于它的所有正整数与它都是互质数；
所以如果一个数p是质数，则有：φ(p)=p-1
由上易得，若我们知道一个数n可以分解为两个质数p和q的乘积，则有
φ(n)=(p-1)(q-1)
欧拉定理与模反元素
欧拉函数的用处，在于欧拉定理
“欧拉定理”指的是
- 如果两个正整数a和n互质，则n的欧拉函数φ(n)可以让下面的等式成立：
aφ(n)≡1(modn)
也就是说，a的φ(n)次方被n除的余数为1
模反元素的推导过程如下
- 根据欧拉定理，有：
aφ(n)=a×aφ(n)−1≡1(modn)
令b=aφ(n)-1，得：
ab≡1(modn)
b就是a的模反元素
意即，如果两个正整数a和n互质，那么一定可以找到整数b
使得ab-1被n整除，或者说ab被n除的余数是1
真实的例子
根据以上介绍的定义和数学知识
先来看一个真实的例子加深印象
假设甲要发送一串秘密数字m=65给乙
乙发送了一个公钥(n,e)=(3233,17)给甲
甲根据以下公式及公钥对密文m加密成c
me≡c(modn)
代入得
c=memodn=6517mod3233=2790
甲将使用公钥加密的密文c=2790发送给乙
乙收到c=2790的密文后，使用私钥(n,d)=(3233,2753)根据以下公式进行解密
cd=m(modn)
代入得
m=cdmodn=27902753mod3233=65
乙使用与公钥不同的私钥成功计算出密文m，发现了吗？
从始至终，用来解密的私钥(n,d)=(3233,2753)一直都在乙处，从未泄露
乙给甲的仅仅是用来加密的公钥(3233,17)
这个公钥并不能用来解密，即使被他人截获，也没有任何泄密的风险
那么，乙是如何计算出给甲的公钥(3233,17)和私钥(3233,2753)的呢？
计算密钥
根据以上“真实的例子”
看看乙是如何计算密钥（公钥和私钥）的
- 随机选择两个不相等的质数p和q（乙选择了61和53）
- 计算p和q的乘积n=p×q=61×53=3233
- 根据本文“欧拉函数”介绍过的公式
φ(n)=(p-1)(q-1)
代入计算n的欧拉函数值
φ(3233)=(61-1)×(53-1)=60×52=3120 - 随机选择一个整数e，条件是1<e<φ(n)，且e与φ(n)互质
乙就在1到3120之间，随机选择了17 - 因为e与φ(n)互质，根据求模反元素的公式计算e，对于e的模反元素d有：
ed≡1(modφ(n))
这个式子等价于
(ed-1)/φ(n)=k（k为任意正整数）
即
ed-kφ(n)=1，代入数据得：
17d-3120k=1
实质上就是对以上这个二元一次方程求解
得到一组解为：(d,k)=(2753,-15) - 将n和e封装成公钥，n和d封装成私钥
n=3233，e=17，d=2753
所以公钥就是(3233,17)，私钥就是(3233,2753)
其中，n的长度就是密钥长度，3233写成二进制是110010100001
一共有12位，所以这个密钥就是12位
实际应用中，RSA密钥一般是1024位，重要场合则为2048位
密钥组成与加解密公式
| 公钥KU |
n：质数p和质数q的乘积（p和q必须保密） e：与(p-1)×(q-1)互质 |
| 私钥KR |
n：同公钥n d：e-1(mod(p-1)(q-1)) |
| 加密 | c=memodn |
| 解密 | m=cdmodn |
安全性
根据以上实例，也许会有疑问
公钥中已包含n=3233，我将其因式分解回n=3233=61×53
再根据乙计算密钥的流程，不就可以根据公钥得出私钥了
事实上，RSA的安全性就是源自你没办法轻易的对大整数“因式分解”
上面的例子，密钥长度是12位
因为这只是个示例，所以密钥长度实在是太短了
你可以将示例中的n作因式分解，但是你没法对下面这个整数进行因数分解
12301866845301177551304949
58384962720772853569595334
79219732245215172640050726
36575187452021997864693899
56474942774063845925192557
32630345373154826850791702
61221429134616704292143116
02221240479274737794080665
351419597459856902143413
它等于这样两个质数的乘积：
×
33478071698956898786044169
84821269081770479498371376
85689124313889828837938780
02287614711652531743087737
814467999489
36746043666799590428244633
79962795263227915816434308
76426760322838157396665112
79233373417143396810270092
798736308917
事实上，这大概是人类已经分解的最大整数（232个十进制位，768个二进制位）
对极大整数做因数分解的难度决定了RSA算法的可靠性
实际应用中，RSA密钥一般是1024位（安全），重要场合则为2048位（极其安全）
一点感想
明天早上考大学生涯最后一门课程《网络安全》
其中重点中的重点便是RSA算法
课本讲得很随意，还是得参考一些资料
包括阮一峰先生的两篇文章《RSA算法原理（一）》、《RSA算法原理（二）》
和一些其它资料，如《用实例给新手讲解RSA加密算法》
读懂并整理加入了一些自己的想法，完成本文并共享之
就当学生考试生涯结束前的一点纪念吧
若有纰误或不足，欢迎您留言指正