题目1：
写一个函数，输入n，求斐波那契（Fibonacci）数列的第n项。
斐波那契（Fibonacci）数列定义例如以下：
f(n)=?????0,1,f(n?1)+f(n?2),n=0n=1n>2
效率非常低的解法：
- 递归解法（效率非常低）
long long Fibonacci_Solution1(unsigned int n)
{
if(n <= 0)
return 0;
if(n == 1)
return 1;
return Fibonacci_Solution1(n - 1) + Fibonacci_Solution1(n - 2);
}2 循环解法：改进的算法：从下往上计算。首先依据f(0)和f(1)算出f(2)。再依据f(1)和f(2)算出f(3)。。。。。依此类推就能够算出第n项了。
非常easy理解。这样的思路的时间复杂度是o(n)。实现代码例如以下：
long long Fibonacci(unsigned n)
{
int result[2] = {0 , 1};
if(n < 2)
return result[n];
long long fibMinusOne = 1;
long long fibMinusTwo = 0;
for(unsigned int i = 2 ; i <= n ; ++i)
{
fibN = fibMinusOne + fibMinusTwo;
fibMinusTwo = fibMinusOne;
fibMinusOne = fibN;
}
return fibN;
}题目2：
一仅仅青蛙一次能够跳上1级台阶，也能够跳上2级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共同拥有多少种跳法。
能够把n级台阶时的跳法看成是n的函数，记为f(n)。当n>2时，第一次跳的时候就有两种不同的选择：一是第一次仅仅跳1级，此时跳法数目等于后面剩下的n-1级台阶的跳法数目，即为f(n-1);还有一种选择是第一次跳2级，此时跳法数目等于后面剩下n-2级台阶的跳法数目，即为f(n-2)。
因此。n级台阶的不同跳法的总数f(n)=f(n-1)+f(n-2)。分析到这里，不难看出这实际上就是斐波那契数列了。
与斐波那契数列不同的是，其初始值定义稍有不同。
当n=1时，仅仅能跳一级台阶，一种跳法
当n=2时。一次跳一级或两级，两种跳法
所以。关于青蛙跳台阶的定义例如以下：
f(n)=?????1,2,f(n?1)+f(n?2),n=1n=2n>2
- 非递归写法
long long FrogJump12Step(int n)
{
if (n <= 0)
{
std::cerr << "param error" << std::endl;
return -1;
}
if (n == 1)
return 1;
if (n == 2)
return 2;
int frogNMinusOne = 2;//f(n-1)=2
int frogNMinusTwo = 1;//f(n-2)=1
int frogN = 0;
for (unsigned int i = 3; i <= n;++i)
{
frogN = frogNMinusOne + frogNMinusTwo;
frogNMinusTwo = frogNMinusOne;
frogNMinusOne = frogN;
}
return frogN;
}
- 递归解法
long long FrogJump12StepRecursive(int n)
{
if (n <= 0)
{
std::cerr << "param error" << std::endl;
return -1;
}
if (n == 1)
return 1;
if (n == 2)
return 2;
return FrogJump12StepRecursive(n - 1) + FrogJump12StepRecursive(n - 2);
}题目3：
一仅仅青蛙一次能够跳上1级台阶，也能够跳上2级。
。
。
。。它也能够跳上n级，此时该青蛙跳上一个n级的台阶总共同拥有多少种跳法？
用数学归纳法能够证明：f(n)=2n?1.
递归式证明：
当n = 1 时， 仅仅有一种跳法，即1阶跳：Fib(1) = 1;
当n = 2 时。 有两种跳的方式，一阶跳和二阶跳：Fib(2) = Fib(1) + Fib(0) = 2;
当n = 3 时。有三种跳的方式，第一次跳出一阶后。后面还有Fib(3-1)中跳法。 第一次跳出二阶后，后面还有Fib(3-2)中跳法；第一次跳出三阶后，后面还有Fib(3-3)中跳法
Fib(3) = Fib(2) + Fib(1)+Fib(0)=4;
当n = n 时。共同拥有n种跳的方式，第一次跳出一阶后。后面还有Fib(n-1)中跳法； 第一次跳出二阶后。后面还有Fib(n-2)中跳法……………………..第一次跳出n阶后, 后面还有 Fib(n-n)中跳法.
Fib(n) = Fib(n-1)+Fib(n-2)+Fib(n-3)+……….+Fib(n-n)=Fib(0)+Fib(1)+Fib(2)+…….+Fib(n-1)
又由于Fib(n-1)=Fib(0)+Fib(1)+Fib(2)+…….+Fib(n-2)
两式相减得：Fib(n)-Fib(n-1)=Fib(n-1)
=====》 Fib(n) = 2*Fib(n-1) n >= 2
递归等式例如以下：
f(n)=?????1,2,2?f(n?1),n=1n=2n>2
所以：f(n)=2?f(n?1)=2?2(n?2)....=2n?1?f(0)=2n?1
- 非递归解法：
long long FrogJump12nStep(int n)
{
if (n <= 0)
{
std::cerr << "param error" << std::endl;
return -1;
}
else if (n == 1)
return 1;
else
{
long long fn1 = 1;
long long fn = 0;
for (int i = 2; i <= n;++i)
{
fn = 2 * fn1;
fn1 = fn;
}
return fn;
}
}- 递归解法
long long FrogJump12nStepRecursive(int n)
{
if (n <= 0)
{
std::cerr << "param error" << std::endl;
return -1;
}
else if (n == 1)
return 1;
else if (n == 2)
return 2;
else
return 2 * FrogJump12nStepRecursive(n - 1);
}
题目4：
小矩形覆盖大矩形，用2*1的小矩形横着或竖着去覆盖各大矩形。
思路：设题解为f(n),
第一步：若第一块矩形竖着放，后边还有n-1个2*1矩形，即此种情况下，有f(n-1)种覆盖方法。
第二部：若第一块横着放。后边还有n-2个2*1矩形，此种情况下，有f(n-2)种覆盖方法。
第三部：可得 f(n)=f(n-1)+f(n-2)
可知，此题能够转化为其斐波那契数列第n项的值。