1.问题定义
差分约束系统属于线性规划问题。在一个差分约束系统中，线性规划矩阵A的每一行包含一个1和一个-1，A的所有其他元素都为0。因此，由Ax≤b给出的约束条件是m个差分约束集合，其中包含n个未知元。每个约束条件为如下形式的简单线性不等式：xj-xi≤bk(1≤i, j≤n，1≤k≤m)。如下图5维向量x满足8个不等式的差分约束，我们可以把未知量x1，x2，x3，x4，x5化为如下8个不等式：
我们可以发现当x=(x1,x2,…,xn)是差分约束系统Ax≤b的一个解，d为任意常数。则x+d=(x1+d,x2+d,…,xn+d)也是该系统Ax≤b的一个解。因此这个不等式组要么无解，要么就有无数组解。
2.解决方案
求解差分约束系统，可以转化成图论的单源最短路径问题。观察xj-xi<=bk，会发现它类似最短路中的三角不等式d[v] <= d[u] + w[u,v]，即d[v] - d[u] <= w[u,v]。因此，以每个变量xi为结点，对于约束条件xj-xi<=bk，连接一条边E(i,j），边权为bk。求单源最短路径，必须有一个源点，然后再求这个源点到其他所有点的最短路径，我们可以增加一个原点s与所有其他点相连，边权均为0，xi - x0 <= 0。上图中的不等式于是转化为下图中的有向图：
下面介绍解决差分约束问题的方法：Bellman-Ford算法。Bellman-Ford算法是用来解决有向图中存在负权边的单源最短路径问题的。
①将除源点外的所有顶点的最短距离估计值，即 d[v] = +∞, d[s] = 0；
②反复对边集E中的每条边进行松弛操作，使得顶点集V中的每个顶点v的最短距离估计值逐步逼近其最短距离；
③判断边集E中的每一条边的两个端点是否收敛。如果存在未收敛的顶点，则算法返回false，表明问题无解；否则算法返回true，问题有解，并且从源点可到达的顶点v的最短距离保存在d[v]中。
算法伪代码如下：
Bellman-Ford()
{
for each vertex v ∈ G do //初始化
d[v] = +∞
d[s] = 0
for i = 1 to n-1 do
for each edge(u, v) ∈ G do
if d[v] > d[u] + w(u, v) then //松弛操作
d[v] = d[u] + w(u, v)
for each edge(u, v) ∈ G do
if d[v] > d[u] + w(u, v) then //检查是否存在回路
return false
return true
}
图中任意一条最短路径既不能包含负权回路，也不会包含正权回路，所以最多包含n-1条边，从源点s出发每进行一遍松弛操作时，多生成了了从s出发层次为1的树，而最短边路径最多为n-1，故只需要循环n-1次。最后计算的d[v]即为差分不等式的一组解。
3.算法优化
Bellman-Ford算法的时间复杂度为O(VE)，一种方法是我们引入SPFA算法作为其优化算法，也就是进行队列优化，初始化时将源s加入队列每次从队列中取出一个元素，并且对所有与之相邻的点进行松弛，若某个相邻的点松弛成功，则将其入队，直到队列为空时SPFA算法结束。SFPA的期望时间复杂度为O(KE)[己考证，证明不严密，最坏情况和Dijkstra差不多]，期望的常数K一般不会超过2。另一种优化是Yen优化(不太懂)，将图中的点随机的进行标记序号v1,v2,vi...,则分为两类边集合：
进行松驰时，先按vi的升序只找Ef边进行松弛，然后再按vi的降序只对Eb边进行松弛，可以优化为常数时间，复杂度仍为O(VE)[己考证]。
4.题目 POJ1364 King
题目大意：
* 已知一个序列a[1], a[2], ......, a[n]，给出它的若干子序列以及对该子序列的
* 约束条件，例如a[si], a[si+1], a[si+2], ......, a[si+ni]，且a[si]＋a[si+1]
* ＋a[si+2]＋......＋a[si+ni] < or > ki。求是否存在满足以上m个要求的数列。是
* 则输出“lamentable kingdom”,否则输出“successful conspiracy”。
解题思路：
* s[a] + s[a+1] + …… + s[b] < c 可以转化成前n项和sum[b] - sum[a - 1] < c，
* 为了能用Bellman_Ford,即将< 转化成 <= ，sum[b] - sum[a - 1] <= c - 1。
* 转化为最长路或者最短路来判断是否有解都可以。