支持向量机中的函数距离和几何距离

作者：Jason Gu
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SVM是通过超平面将样本分为两类。
在超平面确定的情况下，可以相对地表示点距离超平面的远近。对于两类分类问题，如果，则的类别被判定为1；否则判定为-1。

所以如果，则认为的分类结果是正确的，否则是错误的。且的值越大，分类结果的确信度越大。反之亦然。

所以样本点与超平面之间的函数间隔定义为

但是该定义存在问题：即和同时缩小或放大M倍后，超平面并没有变化，但是函数间隔却变化了。所以，需要将的大小固定，如，使得函数间隔固定。这时的间隔也就是几何间隔 。

几何间隔的定义如下

实际上，几何间隔就是点到超平面的距离。想像下中学学习的点到直线的距离公式

所以在二维空间中，几何间隔就是点到直线的距离。在三维及以上空间中，就是点到超平面的距离。而函数距离，就是上述距离公式中的分子，即未归一化的距离。

定义训练集到超平面的最小几何间隔是

SVM训练分类器的方法是寻找到超平面，使正负样本在超平面的两侧，且样本到超平面的几何间隔最大。
所以SVM可以表述为求解下列优化问题

以上内容在《统计学习方法》中，均有详细的讲解。