【洛谷U20626】gemo 容斥 FWT 高斯消元

题目大意

  给你一个无向图,有\(m\)个询问,每次给你一个点\(x\)和一个点集\(S\),问你从\(x\)开始走,每次从一个点随机的走到与这个点相邻的点,问你访问\(S\)中每个点至少一次的期望步数是多少。

  \(n\leq 18,m\leq 100000\)

题解

  有个东西叫min-max容斥:
\[
\max(S)=\sum_{T\subseteq S}{(-1)}^{|T|+1}\min(T)
\]

  这道题中,\(\min(S)\)是从点\(x\)开始走,走到\(S\)中任意一个点的期望步数。\(\max(S)\)是从\(x\)开始走,走完\(S\)中全部点的期望步数。

  我们先枚举所有\(S\),用高斯消元算出\(\min(S)\)。

  总共有\(2^n\)个集合,消一次是\(O(n^3)\)的。

  这样就算出了所有起点为\(i\),遍历\(S\)中每个点至少一次的期望步数\(f_{i,S}\)

  然后带入这个式子里,用FWT算出\(\max(S)\)。

  总共有\(n\)个不同的起点,FWT一次是\(O(n2^n)\)的。

  所以总的时间复杂度是\(O(n^32^n)\)的。

代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<cmath>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll p=998244353;
vector<int> g[20];
int n,m;
int d[20];
int a[19][20];
ll inv[10010];
int c[10010];
ll fp(ll a,ll b)
{
    ll s=1;
    for(;b;b>>=1,a=a*a%p)
        if(b&1)
            s=s*a%p;
    return s;
}
int f[19][1<<18];
int bitcnt[1<<18];
void add(int &a,int b)
{
    if((a+=b)>p)
        a-=p;
}
void fwt(int *a,int n)
{
    int i,j,k;
    for(i=2;i<=1<<n;i<<=1)
        for(j=0;j<1<<n;j+=i)
            for(k=j;k<j+i/2;k++)
                add(a[k+i/2],a[k]);
}
int main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("gemo.in","r",stdin);
    freopen("gemo.out","w",stdout);
#endif
    scanf("%d%d",&n,&m);
    int x,y;
    int i,j;
    for(i=1;i<=m;i++)
    {
        scanf("%d%d",&x,&y);
        d[x]++;
        d[y]++;
        g[x].push_back(y);
        g[y].push_back(x);
    }
    inv[0]=inv[1]=1;
    for(i=2;i<=10000;i++)
        inv[i]=-p/i*inv[p%i]%p;
    ll v;
    int k;
    int l;
    int all=(1<<n)-1;
    bitcnt[0]=0;
    for(i=1;i<all;i++)
        bitcnt[i]=bitcnt[i>>1]+(i&1);
    for(l=1;l<all;l++)
    {
        memset(a,0,sizeof a);
        for(i=1;i<=n;i++)
        {
            a[i][i]=1;
            if(l&(1<<(i-1)))
                continue;
            a[i][n+1]=1;
            for(auto v:g[i])
                a[i][v]=-inv[d[i]];
        }
        for(i=1;i<=n;i++)
        {
            for(j=i;j<=n;j++)
                if(a[i][j])
                    break;
            if(j>n)
                continue;
            if(i!=j)
                for(k=i;k<=n+1;k++)
                    swap(a[i][k],a[j][k]);
            if(a[i][i])
            {
                v=fp(a[i][i],p-2);
                for(j=i;j<=n+1;j++)
                    a[i][j]=a[i][j]*v%p;
            }
            for(j=1;j<=n;j++)
                if(i!=j&&a[j][i])
                {
                    v=a[j][i];
                    for(k=i;k<=n+1;k++)
                        a[j][k]=(a[j][k]-a[i][k]*v)%p;
                }
        }
        for(i=1;i<=n;i++)
            f[i][l]=a[i][n+1];
    }
    for(i=1;i<=n;i++)
    {
        for(j=0;j<all;j++)
        {
            if(!(bitcnt[j]&1))
                f[i][j]=-f[i][j];
            if(f[i][j]<0)
                f[i][j]+=p;
        }
        fwt(f[i],n);
    }
    int m;
    scanf("%d",&m);
    for(i=1;i<=m;i++)
    {
        scanf("%d",&x);
        int s=0;
        for(j=1;j<=x;j++)
        {
            scanf("%d",&y);
            s|=1<<(y-1);
        }
        scanf("%d",&y);
        printf("%d\n",f[y][s]);
    }
    return 0;
}

原文地址:https://www.cnblogs.com/ywwyww/p/8514537.html

时间: 2024-10-12 21:41:18

【洛谷U20626】gemo 容斥 FWT 高斯消元的相关文章

【洛谷P3389】【模板】高斯消元

题目链接 题目描述 给定一个线性方程组,对其求解 输入输出格式 输入格式: 第一行,一个正整数 n 第二至 n+1行,每行 n+1 个整数,为a1, a2 .....an? 和 b,代表一组方程. 输出格式: 共n行,每行一个数,第 i行为 xi? (保留2位小数) 如果不存在唯一解,在第一行输出"No Solution". 输入输出样例 输入样例#1: 3 1 3 4 5 1 4 7 3 9 3 2 2 输出样例#1: -0.97 5.18 -2.39 说明 1≤n≤100,∣ai?

2016 CCPC 网络赛 B 高斯消元 C 树形dp(待补) G 状压dp+容斥(待补) H 计算几何

2016 CCPC 网络赛 A - A water problem 水题,但读题有个坑,输入数字长度很大.. B - Zhu and 772002 题意:给出n个数(给出的每个数的质因子最大不超过2000),选出多个数相乘得b.问有多少种选法让b 为完全平方数. tags:高斯消元,求异或方程组解的个数.   好题 每个数先素数分解开.  对于2000以内的每个素数p[i],这n个数有奇数个p[i]则系数为1,偶数个则系数为0,最后n个数的p[i]系数异或和都要为0才会使得最后的积为完全平方数.

[BZOJ 3143][Hnoi2013]游走(高斯消元+期望)

Description 一个无向连通图,顶点从1编号到N,边从1编号到M. 小Z在该图上进行随机游走,初始时小Z在1号顶点,每一步小Z以相等的概率随机选 择当前顶点的某条边,沿着这条边走到下一个顶点,获得等于这条边的编号的分数.当小Z 到达N号顶点时游走结束,总分为所有获得的分数之和. 现在,请你对这M条边进行编号,使得小Z获得的总分的期望值最小. Solution 对于点u(u≠1):到达u的概率 f[u]=∑f[v]/d[v] (Edges(u,v)) 而f[1]=∑f[v]/d[v]+1

高斯消元小小结

所谓高斯消元,就是一种解线性方程组的算法. 学过线性代数的同学都知道,线性方程组本质就是一个向量X1左乘一个系数矩阵A得到另一个向量X2,我们要求解的就是所有未知数构成的向量X1. 设一个n元一次方程组,我们把所有未知数的系数以及等号右边的常数在保持相对位置不变的情况下组成一个n行n+1列的矩阵, a11 a12 a13 ...... a1n b1a21 a22 a23 ...... a2n b2......an1 an2 an3 ...... ann bn 然后我们通过矩阵的初等变换,每个方程

poj_1222_高斯消元

第一次学习使用高斯消元,将灯板化为线性方程组,进行求解. /*######################################################################### # File Name: poj_1222.cpp # Author: CaoLei # Created Time: 2015/7/20 15:48:04 ###################################################################

HDU 4870 Rating(高斯消元)

HDU 4870 Rating 题目链接 题意:一个人注册两个账号,初始rating都是0,他每次拿低分的那个号去打比赛,赢了加50分,输了扣100分,胜率为p,他会打到直到一个号有1000分为止,问比赛场次的期望 思路:f(i, j)表示i >= j,第一个号i分,第二个号j分时候,达到目标的期望,那么可以列出转移为f(i, j) = p f(i', j') + (1 - p) f(i'' + j'') + 1 f(i', j')对应的是赢了加分的状态,f(i'', j'')对应输的扣分的状态

【BZOJ 4171】 4171: Rhl的游戏 (高斯消元)

4171: Rhl的游戏 Time Limit: 20 Sec  Memory Limit: 128 MBSubmit: 74  Solved: 33[Submit][Status][Discuss] Description RHL最近迷上一个小游戏:Flip it.游戏的规则很简单,在一个N*M的格子上,有一些格子是黑色,有一些是白色 .每选择一个格子按一次,格子以及周围边相邻的格子都会翻转颜色(边相邻指至少与该格子有一条公共边的格子 ),黑变白,白变黑.RHL希望把所有格子都变成白色的.不幸

POJ 1830 开关问题 高斯消元,自由变量个数

http://poj.org/problem?id=1830 如果开关s1操作一次,则会有s1(记住自己也会变).和s1连接的开关都会做一次操作. 那么设矩阵a[i][j]表示按下了开关j,开关i会被操作一次,记得a[i][i] = 1是必须的,因为开关i操作一次,本身肯定会变化一次. 所以有n个开关,就有n条方程, 每个开关的操作次数总和是:a[i][1] + a[i][2] + ... + a[i][n] 那么sum % 2就代表它的状态,需要和(en[i] - be[i] + 2) % 2

BZOJ 3105: [cqoi2013]新Nim游戏 [高斯消元XOR 线性基]

以后我也要用传送门! 题意:一些数,选择一个权值最大的异或和不为0的集合 终于有点明白线性基是什么了...等会再整理 求一个权值最大的线性无关子集 线性无关子集满足拟阵的性质,贪心选择权值最大的,用高斯消元判断是否和已选择的线性相关 每一位记录pivot[i]为i用到的行 枚举要加入的数字的每一个二进制为1的位,如果有pivot[i]那么就异或一下(消元),否则pivot[i]=这个数并退出 如果最后异或成0了就说明线性相关... #include <iostream> #include &l