动态规划作业-多段图的最短路径问题

多段图的最短路径问题

问题:设图G=(V,E)是一个带权有向图,如果把顶点集合V划分成k个互不相交的子集Vi(2<=k<=n,1<=i<=k),

使得E中的任何一条边<u,v>,必有u∈Vi, v∈Vi+m(1<=i<k,1<i+m<=k),则称图G为多段图,称s∈V1为源点,

t∈Vk为终点。

多段图的最短路径问题为从源点到终点的最小代价路径。

子问题:设Cuv表示多段图的有向边<u,v>上的权值,将从源点s到终点t的最短路径长度即为d(s,t),

考虑原问题的部分解d(s,v),显然有下式成立

d(s,v)=Csu                                  (<s,v>∈E)

d(s,v)=min(d(s,u)+Cuv)            (<u,v>∈E)

算法:多段图的最短路径问题

输入:多段图的代价矩阵

输出:最短长度及路径c[n][n]

1.循环变量j从1~n-1重复下述操作,执行填表工作

1.1考察顶点j的所有入边,对于边<i,j>∈E,执行下述操作

1.1.1cost[j]=min{cost[i]+c[i][j]};

1.1.2path[j]=使cost[i]+c[i][j]最小的i;

1.2 j++;

2.输出最短路径长度cost[n-1];

3.循环变量i=path[n-1].循环直到path[i]=0,输出最短路径经过的顶点;

3.1 输出path[i];

3.2 i=path[i]

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<stdio.h>
#define Max 0xffff
using namespace std;
//动态规划求最短路径
void dp_path(int c[][100], int *cost, int *path) {
    int m, n;
    cout << "输入顶点个数和边个数" << endl;
    cin >> n >> m;
    //初始化代价矩阵
    for (int i = 0; i < n; i++)
        for (int j = 0; j < n; j++)
            c[i][j] = Max;
    //输入代价矩阵
    int u, v, s;
    for (int i = 0; i < m; i++) {
        cin >> u >> v >> s;
        //cout<<u<<v<<s<<endl;
        c[u][v] = s;
    }
    for(int i=0;i<n;i++)
        cost[i]=Max;
    path[0] = -1;
    cost[0] = 0;
    for (int j = 1; j < n; j++) {
        for (int i = j-1; i >=0; i--) {
            if (cost[j] > cost[i] + c[i][j]) {
                path[j] = i;
                cost[j] = cost[i] + c[i][j];
            }
        }
    }
    cout<<cost[n-1]<<endl;
    int i=path[n-1];
    cout<<path[n-1]<<endl;
    while(path[i]>=0){
        cout<<path[i]<<endl;
        i=path[i];
    }
}
int main()
{
    int c[100][100], cost[100], path[100];
    dp_path(c, cost, path);
    getchar();
    return 0;
}

原文地址:https://www.cnblogs.com/zuoyou151/p/9028675.html

时间: 2024-10-12 22:09:14

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