161023解答

设 $f$ 的正惯性指数为 $r$, 负惯性指数为 $s$, 则存在满秩线性替换 $$\bee\label{487:4:eq1} y_i=d_{i1}x_1+\cdots +d_{in}x_n,\quad 1\leq i\leq n \eee$$ 使得 $$\bee\label{487:4:eq2} \bea f&=l_1^2+l_2^2+\cdots+l_p^2 -l_{p+1}^2-\cdots-l_{p+q}^2\\ & =y_1^2+\cdots+y_r^2 -y_{r+1}^2 -\cdots-y_{r+s}^2. \eea \eee$$ 往证 $r\leq p$ ($s\leq q$ 可类似证得). 用反证法. 若 $r>p$, 考虑线性方程组 $$\bee\label{487:4:eq3} \seddm{ c_{11}x_1+\cdots+c_{1n}x_n=0\\ \cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\\ c_{p1}x_1+\cdots+c_{pn}x_n=0\\ d_{r+1,1}x_1+\cdots+d_{r+1,n}x_n=0\\ \cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\\ d_{n1}x_1+\cdots+d_{nn}x_n=0 }. \eee$$ 其 (未知数个数为 $n$, 而方程个数为 $p+(n-r)<n$) 有非零解 $(k_1,\cdots,k_n)$. 代入 (2), 得 $$\bex f=-l_{p+1}^2-\cdots-l_{p+q}^2 =y_1^2+\cdots+y_r^2. \eex$$ 因此, $$\bee\label{487:4:eq4} l_{p+1}=\cdots=l_{p+q}=y_1=\cdots=y_r=0. \eee$$ 结合 \eqref{487:4:eq3}-\eqref{487:4:eq4} 的后半部分知 $$\bex \seddm{ d_{11}k_1+\cdots+d_{1n}k_n=0\\ \cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\\ d_{r1}k_1+\cdots+d_{rn}k_n=0\\ d_{r+1,1}k_1+\cdots+d_{r+1,n}k_n=0\\ \cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\\ d_{n1}k_1+\cdots+d_{nn}k_n=0 }. \eex$$ 因为 $k_1,\cdots,k_n$ 不全为零, 而其系数行列式等于零. 这与 $\eqref{487:4:eq1}$ 为满秩线性替换矛盾. 故有结论.