P1439 排列LCS问题

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• 题目提供者yeszy
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题目描述

给出1-n的两个排列P1和P2，求它们的最长公共子序列。

输入输出格式

输入格式：

第一行是一个数n，

接下来两行，每行为n个数，为自然数1-n的一个排列。

输出格式：

一个数，即最长公共子序列的长度

输入输出样例

输入样例#1：

5
3 2 1 4 5
1 2 3 4 5

输出样例#1：

3

说明

【数据规模】

对于50%的数据，n≤1000

对于100%的数据，n≤100000

题解：

看到10W的规模，大致可以断定此题应该用O(nlogn)的解法，朴素的LCS算法时间复杂度为O(n^2)，明显不可行。

首先简化一下问题，假设P1恰好为单调递增的1,2,3,...n，那么很显然答案就是P2的最长上升子序列的长度（想一想，为什么？）

问题是P1并非单调递增的，但我们可以假定它就是1,2,3,...,n，将P1[1]映射到1，P1[2]映射到2，……然后再将P2作相同的变换即可，这样只要求P2的最长上升子序列了。

最长上升子序列是有O(nlogn)算法的，大致过程如下：

建立栈a,每读入一个元素x，若x比栈顶元素大则x进栈，否则在栈中二分找到第一个大于x的元素a[k]，并用x替换它，做完以后栈的大小就是序列的最长上升子序列的长度。

AC代码：

（头文件自动忽略就好）

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<ctime>
#include<cmath>
#include<string>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<stack>
#include<queue>
#include<map>
using namespace std;
#define ll long long
#define N 100010
#define inf 1100000000
#define linf 999999999999999LL
#define xx first
#define yy second
typedef pair<int,int> diy;
inline const int read(){
    register int x=0,f=1;
    register char ch=getchar();
    while(ch<‘0‘||ch>‘9‘){if(ch==‘-‘)f=-1;ch=getchar();}
    while(ch>=‘0‘&&ch<=‘9‘){x=x*10+ch-‘0‘;ch=getchar();}
    return x*f;
}
int n,m,len;
int a[N],b[N];
int main(){
    n=read();
    for(int i=1;i<=n;i++) a[read()]=i;
    for(int i=1;i<=n;i++) b[i]=a[read()];
    memset(a,0,sizeof a);
    a[len=1]=b[1];
    for(int i=2;i<=n;i++){
        if(b[i]>a[len])
            a[++len]=b[i];
        else
            a[lower_bound(a+1,a+len+1,b[i])-a]=b[i];
    }
    printf("%d\n",len);
    return 0;
}