最大优先队列

最大优先队列

前言

堆排序是一种集插入排序和选择排序的有点于一身的排序算法，但是在后面能学习到更加好的快速排序算法，性能优于堆排序。堆这钟数据结构还有许多其他的用处，例如作为高效的优先队列。优先队列分为最大优先队列和最小优先队列，今天学习了如何用最大堆来实现最大优先队列。

优先队列是一种用来维护由一组元素构成的集合S的数据结构，其中的每一个元素都有一个相关的值，称为关键字。一个最大优先队列应该支持下面的四种操作：

1. MAXIMUM(S)：将集合S中的最大关键字的元素返回。
2. EXTRACT_MAX(S)：返回并去掉S中最大的元素。
3. INCREASE_KEY(S,x,k)：将集合S中的x元素关键字的值提升至k，假设k不小于原x的关键字值。
4. INSERT(S,x)：将元素x插入集合S中。

原理

最大优先队列是建立在最大堆上的，在上一篇中已经学习到了关于最大堆的一些知识。在进行上述的四种操作前需要建立一个最大堆。对四种操作的解析如下：

1. MAXIMUM(S) : 根据最大堆的性质，拥有最大关键字值的一项永远在索引为0的地方，所以直接返回即可。
2. EXTRACT_MAX(S) : 将最大项和堆中的最后一项交换值，并返回最大项，需要删除最大项，可以将整个堆的大小缩小一项，不用理会最后一项(最后一项即交换成了最大项)，第一项变化后需要对最大堆进行调整，也就是上篇博客中提到的向下调整。
3. INCREASE_KEY(S,x,k) ： 将元素x的关键字值提升到了k之后，x下面的子树肯定是没有被破坏的，向上不断和x的父节点比较关键字值，如果key(x)>key(parent(x))，则交换值。

   

4. INSERT(S,key) : 在最大堆的最后一项后面加上一项。赋值为key，之后需要进行的就是对整个堆的调整，即从最后一项开始进行上面的第三步操作（INCREASE_KEY(S,x,k)）。

C语言实现

//针对节点i及其子树进行最大堆的调整
void max_heapify(int* a, int i, int count)
{
    int left_index , right_index ;
    int max_index = i;
    left_index = 2 * i + 1;
    right_index = left_index + 1;
    if ((left_index <= count) && (a[left_index] > a[max_index]))
        max_index = left_index;
    if ((right_index <= count) && (a[right_index] > a[max_index]))
            max_index = right_index;
    if (max_index != i)
    {
        int t = a[i];
        a[i] = a[max_index];
        a[max_index] = t;
        max_heapify(a, max_index, count);
    }
}

//建立最大堆
void build_max_heap(int* a, int count)
{
    for (int i = count / 2; i >= 0; i--)
    {
        //对每个子根节点进行堆调整
        max_heapify(a, i, count);
    }
}

//返回优先度最大的对象
int heap_maximum(int* a)
{
    return a[0];
}

//返回并删除优先度最大的对象
int heap_extract_max(int* a, int count)
{
    if (count < 1)
        return -1;
    int max = a[0];
    a[0] = a[count];
    max_heapify(a, 0, count - 1);
    return max;
}

//增加元素的优先度
void heap_increase_key(int* a, int i, int key)
{
    if (a[i] >= key)
        return;
    a[i] = key;
    while (i > 0 && a[(i - 1) / 2] < a[i])
    {
        int t = a[(i - 1) / 2];
        a[(i - 1) / 2] = a[i];
        a[i] = t;
        i = (i - 1) / 2;
    }
}

//插入元素
int* heap_insert(int* a, int key, int count)
{
    int* p = (int*)malloc((count + 1) * 2);
    for (int i = 0; i < count; i++)
    {
        p[i] = a[i];
    }
    p[count] = -1;
    heap_increase_key(p, count, key);
    return p;
}

void main()
{
    int count, *p;
    printf("请输入需要排序的数的个数 :");
    scanf_s("%d", &count);
    p = (int*)malloc(count * 2);
    printf("\n请输入需要排序的%d个数字：",count);
    for (int i = 0; i < count; i++)
    {
        scanf_s("%d", p+i);
    }
    //依据输入的一列数字，建出一个最大堆
    build_max_heap(p, count - 1);
    printf("建立最大堆后的数组：");
    for (int i = 0; i < count; i++)
    {
        printf("%d ", p[i]);
    }
    printf("\n\n");

    printf("最大元素为：%d\n", heap_maximum(p));
    printf("\n\n");
    printf("弹出最大元素：%d, 当前堆为：", heap_extract_max(p, count - 1));
    count--;
    for (int i = 0; i < count; i++)
    {
        printf("%d ", p[i]);
    }
    printf("\n\n");
    printf("增大第5个元素的优先度为10, 当前堆为：");
    heap_increase_key(p, 4, 10);
    for (int i = 0; i < count; i++)
    {
        printf("%d ", p[i]);
    }
    printf("\n\n");
    printf("插入一个优先度为100的元素,当前堆为：");
    p = heap_insert(p, 100, count);
    for (int i = 0; i < count + 1; i++)
    {
        printf("%d ", p[i]);
    }
    system("pause");
}