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前言:之前翻译过一篇英文的关于割点的文章(英文原文、翻译),但是自己还有一些不明白的地方,这里就再次整理了一下。有兴趣可以点我给的两个链接。
割点的概念
在无向连通图中,如果将其中一个点以及所有连接该点的边去掉,图就不再连通,那么这个点就叫做割点(cut vertex / articulation point)。
例如,在下图中,0、3是割点,因为将0和3中任意一个去掉之后,图就不再连通。如果去掉0,则图被分成1、2和3、4两个连通分量;如果去掉3,则图被分成0、1、2和4两个连通分量。
怎么求割点
直接DFS
最容易想到的方法就是依次删除每个割点,然后DFS,但这种方法效率太低,这里不做讨论。
DFS树
首先需要了解一些关于DFS树(DFS tree)的概念。以下图为例:
从点1开始搜索整个图, 对于每个点相邻的顶点,按照顶点编号从小到大搜索(也可以按其它顺序)。因此上图的搜索顺序如下:
第1步,与1相邻的点有{2, 4},选2。
第2步,与2相邻的点有{1, 3, 4},1访问过,选3。
第3步,与3相邻的点有{2, 5},2访问过,选5。
第4步,与5相邻的点有{3},访问过,退出。
退回第3步,与3相邻的点有{2, 5},都访问过,退出。
退回第2步,与2相邻的点有{1, 3, 4},1、3访问过,选4。
第5步,与4相邻的点有{1, 2},都访问过,退出。
退回第2步,与2相邻的点有{1, 3, 4},都访问过,退出。
退回第1步,与1相邻的点有{2, 4},都访问过,退出。
至此,访问结束。
把访问顶点的路径表示出来就是这样的(访问已访问过的顶点时加上删除线并不再访问,end表示与某个顶点相邻的顶点遍历完毕,{}里是与一个顶点相邻的所有顶点)。
1 {2,4}
2 {1,3,4}
1
3 {2,5}
2
5 {3}
3
end
end
4 {1,2}
1
2
end
end
4
end
访问路径可以绘制成下图(绿边为访问未访问顶点时经过的边,红边为访问已访问节点是经过的边):
我们把上图称为DFS搜索树(DFS tree),上图中的绿边称为树边(tree edge),红边称为回边(back edge)。通过回边可以从一个点返回到之间访问过的顶点。
你可能会有疑问,“访问已访问节点时所经过的边叫回边”,我们上面不是没有访问吗?其实是有的,但是为方便就不写了,而且遇到已访问的边(在后面的算法里)只是简单计算一下,不再继续DFS了。
注意,在上图中,如果与一个顶点相邻A的顶点B是A的父节点,不表示出来,接下来的算法遇到这种情况也不计算。
Tarjan算法
可以使用Tarjan算法求割点(注意,还有一个求连通分量的算法也叫Tarjan算法,与此算法类似)。(Tarjan,全名Robert Tarjan,美国计算机科学家。)
首先选定一个根节点,从该根节点开始遍历整个图(使用DFS)。
对于根节点,判断是不是割点很简单——计算其子树数量,如果有2棵即以上的子树,就是割点。因为如果去掉这个点,这两棵子树就不能互相到达。
对于非根节点,判断是不是割点就有些麻烦了。我们维护两个数组dfn[]和low[],dfn[u]表示顶点u第几个被(首次)访问,low[u]表示顶点u及其子树中的点,通过非父子边(回边),能够回溯到的最早的点(dfn最小)的dfn值(但不能通过连接u与其父节点的边)。对于边(u, v),如果low[v]>=dfn[u],即v即其子树能够(通过非父子边)回溯到的最早的点,最早也只能是u,要到u前面就需要u的回边或u的父子边。也就是说这时如果把u去掉,u的回边和父子边都会消失,那么v最早能够回溯到的最早的点,已经到了u后面,无法到达u前面的顶点了,此时u就是割点。
但这里也出现一个问题:怎么计算low[u]。假设当前顶点为u,则默认low[u]=dfn[u],即最早只能回溯到自身。有一条边(u, v),如果v未访问过,继续DFS,DFS完之后,low[u]为low[u]和low[v]中的最小值,即low[u]=min(low[u], low[v]);如果v访问过(且u不是v的父亲),就不需要继续DFS了,一定有dfn[v]<dfn[u],low[u]为low[u]和dfn[v]中的最小值,即low[u]=min(low[u], dfn[v])。(哎,好难啊~)
代码
DFS
先回忆一下怎么用DFS遍历一个图,代码如下:
bool vis[N]; // 调用dfs()前需将整个vis[]设为false void dfs(int u) { vis[u] = true; for (int v: edgesOf(u)) { if (!vis[v]) dfs(v); } }
Tarjan算法
首先假设u是根节点。如果u有两棵以上的子树,则u为割点。代码:
int children = 0; for (int v: edgesOf(u)) { if (!vis[v]) { children++; dfs(v); // 继续DFS } } if (children >= 2) // u是割点
首先,“根节点有n棵子树”这句话,是说这n棵子树是独立的,没有根节点不能互相到达。因此n不一定等于与根节点相邻的顶点数。因此加入了vis[v]为false的条件,因为如果(u, v1)和(u, v2)在一棵子树里,对v1进行DFS,一定能去到v2,vis[v2]就会为true,此时就不会children++了。
非根节点呢?按照前面的描述,代码如下:
// 默认u不能回溯到任何前面的点 low[u] = dfn[u]; for (int v: edgesOf(u)) { // (u, v)为树边 if (!vis[v]) { // 设置v的父亲为u parent[v] = u; // 继续DFS,遍历u的子树 dfs(v); // u子树遍历完毕,low[v]已求出,low[u]取最小值 low[u] = min(low[u], low[v]); if (low[v] >= dfn[u]) // u是割点 } // (u, v)为回边,且v不是u的父亲 else if (v != parent[u]) low[u] = min(low[u], dfn[v]); }
综合起来,加上一些其它部分,Tarjan算法的代码如下:
const int V = 50; // 可以将V改成其它值 const int E = 50; // 可以将E改成其它值 const int NIL = -1; // 根节点的parent值 vector<int> e[E]; // e[u]为与u相邻的所有顶点 int dfn[V], low[V], parent[V]; bool vis[V]; // 在其它函数中调用tarjan()前需将parent[u]设为NIL void tarjan(int u) { static int count = 0; int children = 0; count++; dfn[u] = low[u] = count; vis[u] = true; for (int v: e[u]) { if (!vis[v]) { children++; parent[v] = u; tarjan(v); low[u] = min(low[u], low[v]); if (parent[u] != NIL && low[u] >= dfn[v]) cout << "AP: " << u << endl; } else if (v != parent[u]) low[u] = min(low[u], dfn[v]); } if (parent[u] == NIL && children >= 2) cout << "AP: " << u << endl; }
Todo
对算法的详细理解