素数判定算法，经典的Rabin Miller测试，通过二次探测的方法，可以将其正确率上升到一个很高的高度。
$O(1)$的快速乘。
在一些卡常数而且爆long long的取余问题中用到快速乘。
朴素的快速乘是$O(logn)$的，从而添加了不必要的复杂度。
爆long long的，实质上是取余的结果，在long long运算中只要不涉及除法，那么一直是对INF取余的结果，对答案没有干扰。
1 LL mul(LL a,LL b,LL mod){
2 if(a<=(LL)(1e8) && b<=(LL)(1e8)) return a*b%mod;
3 return (a*b - (LL)(a/(LD)mod*b + 1e-3)*mod + mod) % mod;
4 }
注意快速乘在很小的数字时并不太稳，所以特判一下。
注意一下Linux下rand()函数足够大，不需要拓充。
转入正题：Rabin测试。
我的Rabin在INT范围内不会出错，在LOGN LONG范围内出错的概率极低。
首先是写一个check(LL x,LL P)，用数字x检验P是否为素数。
1 bool check(LL x,LL P){
2 LL tmp=P-1;
3 while(!(tmp&1)) tmp>>=1;
4 LL m=qpow(x,tmp,P);
5 if(m==1) return 1;
6 while(tmp<P){
7 if(m==P-1) return 1;
8 tmp<<=1; m=mul(m,m,P);
9 }
10 return 0;
11 }
梳理一下过程
首先将P-1中所有的2全都除掉。
这时候如果tmp 为 P-1 或者 1是伪素数。（具体就用 $x^{tmp} = 1 (mod P)$判定）
这时候检查$x^{2tmp} , x^{4tmp}, x^{8tmp} ....$是否等于 $P-1$。
如果没有则说明P不是素数。
接下来基于这一个$O(logn)$判定素数，我们有$O(n^{1/4})$的分解质因数算法。
Rho算法。
Rho算法是基于一个定理对于一个小于n的数字x如果 $(x,n) ≠ 1$ 则有，(x,n)为n的因子。
这样考虑怎样高效地得到这样的数字x。
1 LL Rdo(LL n,LL c){
2 LL i=1,k=2,x,y,d,p;
3 x=Rand()%n;
4 y=x;
5 while(1){
6 i++;
7 x=(mul(x,x,n)+c)%n;
8 if(y==x) return n;
9 p=Abs(x-y);
10 d=gcd(p,n);
11 if(d!=1&&d!=n) return d;
12 if(i==k){
13 y=x;
14 k+=k;
15 }
16 }
17 }
18
19 int tot;
20 LL a[N];
21
22 void down(LL n){
23 if(n==1) return;
24 if(isprime(n)){
25 a[++tot]=n;
26 return;
27 }
28 LL t=n;
29 while(t==n) t=Rdo(n,Rand()%(n-1)+1);
30 down(t);
31 down(n/t);
32 }
这样就可以得到了分解质因数的高效方法。
注意一个数字的质因子最多有$O(logn)$个，因为质因数的乘积为n，而且质因数都大于1.
注意在随机数据情况下，采用朴素分解质因数的效率也大概接近 $O(n^{\frac{1}{4}})$，只不过会受到空间的限制。
for(int i=1;prime[i]*(LL)prime[i]<=tmp;i++)
{
int cnt = 0;
tim_cnt++;
while(tmp % prime[i] == 0) tmp /= prime[i];
ans *= (cnt+1);
}
注意是 <=tmp 而不是 <=n
给定一个整数N，求N最少可以拆成多少个完全平方数的和。
所以根据拉格朗日平方和定理，答案为1~4
答案为1，开方验证
答案为2，根据勾股数定理一个数字为勾股数当且仅当其质因数分解中所有的$4n+3$项的指数为偶数。
答案为3，根据初等数论中的不等式 $n ≠ (8k + 7) \cdot 4^{m}$
不然答案为4，根据 拉格朗日平方和定理即可。