剧情提要：
[机器小伟]在[工程师阿伟]的陪同下进入了[九转金丹]之第八转的修炼。设想一个场景：
如果允许你带一台不连网的计算机去参加高考，你会放弃选择一个手拿计算器和草稿本吗
？阿伟决定和小伟来尝试一下用计算机算高考题会是怎样的感觉。
正剧开始：
星历2016年05月25日 17:14:22, 银河系厄尔斯星球中华帝国江南行省。
[工程师阿伟]正在和[机器小伟]一起做着2013年的江苏省数学高考题]。
上面这句话确实在本文而言是名不符实的，因为这张卷子阿伟和[机器小伟]
谁也没做，纯粹贴题了。
粗略看了一下，难度还是5.5环，也就是属于很难的那个行列。试想你每次
为了取得一件宝物都不得不受到5.5次调戏的那种感觉吧，就是这样。
当年阿伟从来没敢交过白卷，现在胆也肥了，也敢交白卷了，真是非常潇洒的感觉。
这次呢，阿伟和[机器小伟]主要在研究怎样解二元二次方程组，先看这个测试题吧：
这两条曲线就是这么个图：
之所以能解二元二次方程组，是因为它们系数之中满足这样的关系：
<span style="font-size:18px;">>>>
['(0)', '(2)*b_[1]^[1]*b_[2]^[1]', '(0)', '(4)*c_[1]^[1]', '(4)*c_[2]^[1]']
['(4)*b_[1]^[2]*b_[2]^[2]', '(-16)*b_[1]^[2]*c_[2]^[1]', '(-16)*b_[2]^[2]*c_[1]^[1]', '(64)*c_[1]^[1]*c_[2]^[1]']
['(0)', '(0)', '(0)', '(0)', '(4)*b_[1]^[2]*b_[2]^[2]', '(16)*b_[1]^[1]*b_[2]^[1]*c_[1]^[1]', '(16)*b_[1]^[1]*b_[2]^[1]*c_[2]^[1]', '(16)*c_[1]^[2]', '(32)*c_[1]^[1]*c_[2]^[1]', '(16)*c_[2]^[2]']
['(0)', '(0)', '(16)*b_[1]^[1]*b_[2]^[1]*c_[1]^[1]', '(16)*b_[1]^[1]*b_[2]^[1]*c_[2]^[1]', '(16)*c_[1]^[2]', '(-32)*c_[1]^[1]*c_[2]^[1]', '(16)*c_[2]^[2]', '(16)*b_[1]^[2]*c_[2]^[1]', '(16)*b_[2]^[2]*c_[1]^[1]']
#测试，二元二次方程组的根的恒等式，已消去一元
#先要保证两个方程的消去的那个元的最高次项系数为1
def tmp3():
part1 = alg.strformat(['b_[1]', 'b_[2]']);
part2 = alg.strformat(['b_[1]^[2]', '-4c_[1]']);
part3 = alg.strformat(['b_[2]^[2]', '-4c_[2]']);
part4 = alg.strpow_n(part1, 2);
part5 = alg.stradd(part2, part3);
part6= alg.strcombine(alg.stradd(part4, alg.minus(part5)));
#print(part6);
part7 = alg.strdot(alg.strdot(['(4)'], part2), part3);
part7 = alg.strcombine(part7);
#print(part7);
part8 = alg.strpow_n(part6, 2);
part8 = alg.strcombine(part8);
#print(part8);
result = alg.strcombine(alg.stradd(part8, alg.minus(part7)));
print(result);
>>>
['(0.0)', '(0.0)', '(1.0)*b_[1]^[1]*b_[2]^[1]*c_[1]^[1]', '(1.0)*b_[1]^[1]*b_[2]^[1]*c_[2]^[1]', '(1.0)*c_[1]^[2]', '(-2.0)*c_[1]^[1]*c_[2]^[1]', '(1.0)*c_[2]^[2]', '(1.0)*b_[1]^[2]*c_[2]^[1]', '(1.0)*b_[2]^[2]*c_[1]^[1]']</span>
<span style="font-size:18px;"> var s = [ '在a_[1] == a_[2] == 1时', '((b_[1]-b_[2])^[2]-(b_[1]^[2]-4c_[1]+b_[2]^[2]-4c_[2]))^[2]', '== 4(b_[1]^[2]-4c_[1])(b_[2]^[2]-4c_[2])', ' ', '这个恒等式可以化为：', '(1)*b_[1]*b_[2]*c_[1]+(1)*b_[1]*b_[2]*c_[2]', '+(1)*c_[1]^[2]-(2)*c_[1]*c_[2]+(1)*c_[2]^[2]', '+(1)*b_[1]^[2]*c_[2]+(1)*b_[2]^[2]*c_[1]', ' = 0' ];</span>
再给工具中新添两个方法：
<span style="font-size:18px;"> #把一个只包括+号的多项式字符串拆分成多项式数组
#如'(1)*x^[2]+(-1)' => ['(1)*x^[2]', '(-1)']
def str2Array(self, str1):
array = [];
#加号位置
signIndex = str1.find('+');
print(signIndex);
start = 0;
count = 0;
while (signIndex != '-1' and count < 10):
#符合要求的必须连着下一个单项式的系数
#按照统一格式是左括号开始
if str1[signIndex+1] == '(':
array.append(str1[start:signIndex]);
start = signIndex + 1;
signIndex = str1.find('+', signIndex+1);
if (signIndex == -1):
break;
array.append(str1[start:]);
return array;
>>>
9
['(1)*x^[2]', '(-1)']
#解二元二次方程组
def solveEquationExp2(self, array1, array2):
#输入的是两个系数矩阵
#矩阵具有这样的形式：[['1'], [b_[1]], [c_[1]]]
#也就是对于ax^[2]+bx+c=0来说, a=1, 而b, c是带参数多项式数组
#注意，系数是数组，不是字符串等。
a_1, b_1, c_1 = array1[0], array1[1], array1[2];
a_2, b_2, c_2 = array2[0], array2[1], array2[2];
#恒等式
'''
[
'(1.0)*b_[1]^[1]*b_[2]^[1]*c_[1]^[1]',
'(1.0)*b_[1]^[1]*b_[2]^[1]*c_[2]^[1]',
'(1.0)*c_[1]^[2]',
'(-2.0)*c_[1]^[1]*c_[2]^[1]',
'(1.0)*c_[2]^[2]',
'(1.0)*b_[1]^[2]*c_[2]^[1]',
'(1.0)*b_[2]^[2]*c_[1]^[1]'] = 0
'''
#这些运算都是针对数组的
b1b2 = alg.strcombine(alg.strdot(b_1, b_2));
c1c2 = alg.strcombine(alg.strdot(c_1, c_2));
c12 = alg.strcombine(alg.strpow_n(c_1, 2));
c22 = alg.strcombine(alg.strpow_n(c_2, 2));
b12 = alg.strcombine(alg.strpow_n(b_1, 2));
b22 = alg.strcombine(alg.strpow_n(b_2, 2));
part1 = alg.strcombine(alg.strdot(b1b2, alg.stradd(c_1, c_2)));
part2 = alg.strcombine(c12+alg.strdot(['(-2)'], c1c2)+c22);
part3 = alg.strcombine(alg.stradd(alg.strdot(b12, c_2),
alg.strdot(b22, c_1)));
result = alg.strcombine(part1+part2+part3);
return result;
</span>
这样就可以进行套路化的解题了：
<span style="font-size:18px;">>>>
step1: ['(1)*x^[2]', '(1)*y^[2]', '(2)*x*y', '(-1)']
step2: ['(1)', '(2)*x', '(1)*x^[2]+(-1)']
step1: ['(1)*x^[2]', '(4)*y^[2]', '(-1)']
step2: ['(4)', '0', '(1)*x^[2]+(-1)']
step3: ['(1)'] ['(2)*x'] ['(1)*x^[2]', '(-1)']
step3: ['(4)'] ['0'] ['(1)*x^[2]', '(-1)']
step4: ['(0)', '(4)*x^[4]', '(-4)*x^[2]']
step5: [4, 0, -4, 0, 0]
step6: [ 1. -1. 0. 0.]
step7: ['(((-((2)*x)))+(((((2)*x)^[2])+((-4)*(((1))*((1)*x^[2]+(-1)))))^[0.5]))/((2)*((1)))', '(((-((2)*x)))-(((((2)*x)^[2])+((-4)*(((1))*((1)*x^[2]+(-1)))))^[0.5]))/((2)*((1)))']
step8: [[1.0, 0.0], [1.0, -2.0], [0.0, 1.0], [0.0, -1.0], [0.0, 1.0], [0.0, -1.0]]
#测试
def tmp2():
solve = StringAlgSolve();
f = alg.strformat(['x^[2]', 'y^[2]', '2xy', '-1']);
print('step1: ', f);
poly_y_f = solve.coefArray(f, 'y');
print('step2: ', poly_y_f);
#以y为参数的二次多项式的系数，消元是消y
a1, b1, c1 = poly_y_f[0], poly_y_f[1], poly_y_f[2];
g = alg.strformat(['x^[2]', '4y^[2]', '-1']);
print('step1: ', g);
poly_y_g = solve.coefArray(g, 'y');
print('step2: ', poly_y_g);
#以y为参数的二次多项式的系数，消元是消y
a2, b2, c2 = poly_y_g[0], poly_y_g[1], poly_y_g[2];
a1, b1, c1 =solve.str2Array(a1), solve.str2Array(b1),solve.str2Array(c1)
a2, b2, c2 =solve.str2Array(a2), solve.str2Array(b2),solve.str2Array(c2)
print('step3: ', a1, b1, c1);
print('step3: ', a2, b2, c2);
poly_x = solve.solveEquationExp2([a1, b1, c1], [a2, b2, c2]);
print('step4: ', poly_x);
poly_x = solve.coefPoly(poly_x, 'x');
print('step5: ', poly_x);
#求得x的根
roots = np.roots(poly_x);
print('step6: ', roots);
#求方程式<1>的y关于x的表达式
expr_y_root = solve.solvePoly(poly_y_f);
print('step7: ', expr_y_root);
expr_y_root2 = solve.solvePoly(poly_y_g);
print('step7: ', expr_y_root2);
#求相交点的坐标对组
points = [];
points2 = [];
for i in range(len(roots)):
real = abs(roots[i].real);
abs_ = abs(roots[i]);
#实数根
if abs(real-abs_) < 0.001:
for j in range(len(expr_y_root)):
x = roots[i];
y = solve.strEval(expr_y_root[j], 'x', x);
points.append([x, y]);
y = solve.strEval(expr_y_root2[j], 'x', x);
points2.append([x, y]);
print('step8: ', points);
print('step8: ', points2);
#比较两组点，得出交点[1, 0], [-1, 0]</span>
解答到此结束，下面是一些过程产物，可忽略。
<span style="font-size:18px;"> if (1) {
var r = 20;
config.setSector(1,1,1,1);
config.graphPaper2D(0, 0, r);
config.axis2D(0, 0,180);
//坐标轴设定
var scaleX = 2*r, scaleY = 2*r;
var spaceX = 0.4, spaceY = 0.4;
var xS = -10, xE = 10;
var yS = -10, yE = 10;
config.axisSpacing(xS, xE, spaceX, scaleX, 'X');
config.axisSpacing(yS, yE, spaceY, scaleY, 'Y');
var transform = new Transform();
//存放函数图像上的点
var a = [], b = [], c = [], d = [];
//需要显示的函数说明
//希腊字母表(存此用于Ctrl C/V
//ΑΒΓΔΕΖΗΘΙΚΛΜΝΞΟΠΡΣΤΥΦΧΨΩ
//αβγδεζηθικλμνξοπρστυφχψω
var f1 = 'x+y = 1', f2 = 'x+y=-1', f3 = 'x^[2]+4y^[2] = 1', f4 = '';
//函数描点
//参数方程
var x, y;
var pointA = [];
for (var thita = 0; thita < Math.PI*2; thita +=Math.PI/48) {
x = Math.cos(thita);
a.push([x, 1-x]);
b.push([x, -1-x]);
c.push([Math.cos(thita), 0.5*Math.sin(thita)]);
}
//存放临时数组
var tmp = [];
//显示变换
if (a.length > 0) {
a = transform.scale(transform.translate(a, 0, 0), scaleX/spaceX, scaleY/spaceY);
//函数1
tmp = [].concat(a);
shape.pointDraw(tmp, 'red');
tmp = [].concat(a);
shape.multiLineDraw(tmp, 'pink');
plot.setFillStyle('red');
plot.fillText(f1, 100, -90, 200);
}
//显示变换
if (b.length > 0) {
b = transform.scale(transform.translate(b, 0, 0), scaleX/spaceX, scaleY/spaceY);
//函数1
tmp = [].concat(b);
shape.pointDraw(tmp, 'red');
tmp = [].concat(b);
shape.multiLineDraw(tmp, 'green');
plot.setFillStyle('green');
plot.fillText(f2, 100, -120, 200);
}
//显示变换
if (c.length > 0) {
c = transform.scale(transform.translate(c, 0, 0), scaleX/spaceX, scaleY/spaceY);
//函数1
tmp = [].concat(c);
shape.pointDraw(tmp, 'blue');
tmp = [].concat(c);
shape.multiLineDraw(tmp, '#0088FF');
plot.setFillStyle('blue');
plot.fillText(f3, 100, -150, 200);
}
}
</span>
<span style="font-size:18px;"> //测试
if (1) {
var mathText = new MathText();
//希腊字母表(存此用于Ctrl C/V
//ΑΒΓΔΕΖΗ ΘΙΚΛΜΝΞ ΟΠΡ ΣΤΥ ΦΧΨ Ω
//αβγδεζη θικλμνξ οπρ στυ φχψ ω
//希腊大小写字母
var Gc = 'ΑΒΓΔΕΖΗΘΙΚΛΜΝΞΟΠΡΣΤΥΦΧΨΩ';
var Gs = 'αβγδεζηθικλμνξοπρστυφχψω';
var s = [
/*
'测试题：求交点',
'x^[2]+2xy+y^[2]=1 _[(1)]',
'x^[2]+4y^[2] = 1 _[(2)]',
' ',
'step1: 两曲线的多项式',
'step2: 消去y元',
'step3: 将两组二次系数导入方程恒等式',
'step4: 得到方程恒等式，这是关于元x的四次恒等式，不含根号',
'step5: 导出恒等式的系数阵列。',*/
'step6: 解恒等式的根，有四个根。',
'step7: 求得曲线方程中y元关于x元的根的代数式。',
'step8: 把代数式求值，得到交点坐标'
];</span>
从此以后，[机器小伟]就可以纵横圆锥曲线了。
留个快照吧：
现在阿伟真的很爽，觉得外边的风景也漂亮起来了。
本节到此结束，欲知后事如何，请看下回分解。
注：本节中的解法虽然没错，但最后结果却是错的，原因出在那个恒等式不够强大，
由于时间不够，虽然阿伟意识到解错了，也没办法，在下一节中会给出正确的解法
以及结果，大家可以去查看。当然，知道这样解是得不出正确结果，也是一种收获。
时间： 2024-10-31 18:11:47