一个组合问题

今天Mayuyu遇到了一道组合问题，题目描述如下。

题目：http://acm.zju.edu.cn/onlinejudge/showProblem.do?problemId=4837

题意：给定一个的矩阵，在这个矩阵中任意选取3点，能构成多少个三角形？

分析：这个题明显是一个组合问题，利用容斥的思想。在的矩阵中一共有个点，那么有种

选择，在这种选择中三点共线的情况是不合法的，不合法主要分两种情况。

（1）处于同一斜线上

枚举的矩形，那么对角线上的两点已经固定，在这两点中间选一个点即可，我们知道，给定两个整

数端点和，直线上的整点个数为，减去已经固定的两

个，中间还有个整点，然后的矩形还可以移动，一共有

种情况，而每一个矩形有两个对角线，所以还要乘以2。

（2）处于同一竖直线或者水平线上

这种情况容易一点在每一个竖直线上选择3点，且每一列都是这样共有种情况。

同理，还有。

代码：

#include <iostream>
#include <string.h>
#include <stdio.h>

using namespace std;
typedef long long LL;

LL gcd(LL a,LL b)
{
    return b ? gcd(b,a%b):a;
}

LL num(LL n,LL m)
{
    LL ans = 0;
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        for(int j=2;j<=m;j++)
            ans += (gcd(i,j) - 1) * (n - i + 1) * (m - j + 1) * 2;
    }
    return ans;
}

LL Work(LL n,LL m)
{
    LL t = (n + 1) * (m + 1);
    LL ans = t * (t - 1) * (t - 2) / 6;
    ans -= num(n,m);
    ans -= n * (n * n - 1) * (m + 1) / 6;
    ans -= m * (m * m - 1) * (n + 1) / 6;
    return ans;
}

int main()
{
    LL n,m;
    while(scanf("%lld%lld",&n,&m)!=EOF)
        printf("%lld\n",Work(n,m));
    return 0;
}

一个组合问题