单调队列之广告印刷
【问题描述】
最近，afy决定给TOJ印刷广告，广告牌是刷在城市的建筑物上的，城市里有紧靠着的N个建筑。
afy决定在上面找一块尽可能大的矩形放置广告牌。我们假设每个建筑物都有一个高度，
从左到右给出每个建筑物的高度H1,H2…HN，且0<Hi<=1,000,000,000，并且我们假设每个建筑物的宽度均为1。
要求输出广告牌的最大面积。
【输入文件】
输入文件 ad.in 中的第一行是一个数n (n<= 400,000)
第二行是n个数，分别表示每个建筑物高度H1,H2…HN，且0<Hi<=1,000,000,000。
【输出文件】
输出文件 ad.out 中一共有一行，表示广告牌的最大面积。
【输入样例】
6
5 8 4 4 8 4
【输出样例】
24
思路：
容易想到，要想使面积最大，肯定要将当前广告覆盖的楼房中，高度最小的那个楼房全部印刷上广告。所以，枚举每个建筑物的高度作为广告矩形的高度，求出在该楼房的左侧，有多少栋连续的楼房的高度大于或等于该楼房的高度，右侧同理。然后得到矩形广告的面积，找出最大面积即可。
枚举法，时间复杂度为O(n^2)：
1 int MaxRectArea(void)
2 {
3 int maxArea = 0;
4 int i, j;
5 for (i = 0; i < n; i++)
6 {
7 int count = 1;
8 //统计在当前建筑物i的左边，与h[i]相同或更高的建筑物有多少
9 for (j = i-1; j >= 0 && h[j] >= h[i]; j--)
10 {
11 count++;
12 }
13 //右边同理
14 for (j = i+1; j < n && h[j] >= h[i]; j++)
15 {
16 count++;
17 }
18 int area = count * h[i];
19 if (area > maxArea)
20 {
21 maxArea = area;
22 }
23 }
24 return maxArea;
25 }
使用单调队列优化，时间复杂度为O(n)：
在这里约定，以当前建筑物为矩形高度，向两侧寻找可以印刷的建筑的过程叫做——扩展。
我们来考察从第i个建筑向左扩展的情况，h数组为建筑物高度，下标为1~n：
如果我们知道，向左扩展到极限时的建筑物的下标为j的话，这时，建筑物j是第一个满足h[j]<h[i]的建筑。那么，第i个建筑物向左扩展的建筑物数量为i-j-1。
如果，对h从左向右建立一个单调递增队列mq，h数组的下标为队列元素，在新的建筑物i要入队时，将队尾所有高度大于等于h[i]的元素都出队，新的队尾mq[rear-1]（rear指向队尾的下一个位置）刚好是上面所讲的向左扩展的极限下标j，因为入队顺序是从左向右的，而且在极限下标j与当前建筑下标i之间的这些建筑，因为高度大于等于h[i]，所有都出队了，mq[rear-1]就刚好是极限下标j。
向右侧扩展是同样的道理，只需要对h从右向左建立一个单调递增队列即可。
为了简化操作，将h[0]和h[n+1]的值都赋为-1。
下面举一个向左侧扩展的例子：
H[]存储建筑物高度，L[]记录向左扩展建筑数量。
|
下标 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
H[] |
-1 |
9 |
5 |
5 |
-1 |
|
L[] |
单调递增队列，front和rear分别为队首和队尾指针，rear指向队尾的下一个位置，初始时让0号建筑入队
|
指针 |
Front |
Rear |
||
|
队列元素 |
0 |
1号建筑入队，队尾没有比1号建筑更高的建筑，直接入队，L[1]= 1 - mq[rear-1] - 1，结果如下：
|
下标 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
H[] |
-1 |
9 |
5 |
5 |
-1 |
|
L[] |
0 |
|
指针 |
Front |
Rear |
||
|
队列元素 |
0 |
1 |
2号建筑入队，队尾元素为1号建筑，高度为9，比2号建筑高，所以出队，新的队尾元素为0号，计算L[2] = 2 –mq[rear-1] – 1，然后2号建筑入队尾，结果如下
|
下标 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
H[] |
-1 |
9 |
5 |
5 |
-1 |
|
L[] |
0 |
1 |
|
指针 |
Front |
Rear |
||
|
队列元素 |
0 |
2 |
3号建筑入队，队尾元素为2号建筑，高度为5，与3号建筑一样高，所以出队，新的队尾元素为0号，计算L[3] = 3 –mq[rear-1] – 1，然后3号建筑入队尾，结果如下：
|
下标 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
H[] |
-1 |
9 |
5 |
5 |
-1 |
|
L[] |
0 |
1 |
2 |
|
指针 |
Front |
Rear |
||
|
队列元素 |
0 |
3 |
最终结果：
|
下标 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
H[] |
-1 |
9 |
5 |
5 |
-1 |
|
L[] |
0 |
1 |
2 |
代码：
1 #define N 10005
2 #include<iostream>
3 using namespace std;
4 #include<cstdio>
5 #include<cstring>
6 int Q[N],h[N],head=0,tail=1,maxar=-1,kzleft[N],kzright[N],n;
7 void input()
8 {
9 scanf("%d",&n);
10 for(int i=1;i<=n;++i)
11 scanf("%d",&h[i]);
12 }
13 void calcleft()
14 {
15 memset(Q,0,sizeof(Q));
16 h[0]=h[n+1]=-1;
17 for(int i=1;i<=n;++i)
18 {
19 while(head<tail&&h[Q[tail-1]]>=h[i]) tail--;
20 kzleft[i]=i-(Q[tail-1]);
21 Q[tail++]=i;
22 }
23 }
24 void calcright()
25 {
26 memset(Q,0,sizeof(Q));
27 head=0;tail=1;
28 Q[0]=n+1;
29 for(int i=n;i>=1;--i)
30 {
31 while(head<tail&&h[Q[tail-1]]>=h[i]) tail--;
32 kzright[i]=Q[tail-1]-i;
33 Q[tail++]=i;
34 }
35 }
36 int find_max_area()
37 {
38 for(int i=1;i<=n;++i)
39 {
40 maxar=max((kzleft[i]+kzright[i]-1)*h[i],maxar);
41 }
42 return maxar;
43 }
44 int main()
45 {
46 input();
47 calcleft();
48 calcright();
49 printf("%d\n",find_max_area());
50 return 0;
51 }