《Linear Algebra and Its Applications》-线性相关性

这篇文章主要简单的记录所谓的“线性相关性”。

线性相关性的对象是向量R^n，对于向量方程，如果说x1v1 + x2v2 + …+xmvm = 0（其中xi是常数，vi是向量）有且仅有一个平凡解，那么我们称m个向量组成的集合{v1,v2,v3…vm}是一个线性相关集，反之，则称向量集合{v1,v2,v3,…vm}是线性无关的。

这个定义似乎显得有些唐突，我们反过来理解所谓的“线性相关”，即在一组非零解的情况下，我们将某个一个系数xi不为0的向量移到等式的另一侧，从这种形式来看，我们得到了向量vi关于其他向量的一个线性组合。

即我们可以这样理解所谓的线性相关，m个向量R^n中，某个向量可以由其余的向量以线性组合的形式表达出来，且系数不都为0，那么我们就可以称这m个向量是线性相关的。

即如下的这个定理。(它显然存在一个更加严密的证明过程，上文中只是给出了非常模糊、直觉性的介绍)

那么现在我们面临这样一个问题，对于给定的m个向量R^n，我们如何判断其线性相关性呢？

有着怎样的定义就有着怎样的算法，通过一开始我们对线性相关性的定义我们就能够发现，我们只需要讨论向量方程x1v1 + x2v2 + x3v3 +…+xmvm = 0的解即可，这就回到了我们上几节介绍的利用化简增广矩阵来求解矩阵方程、向量方程以及线性方程组的问题上来。

下面给出一道例题。

同样的，基于对向量之间线性相关性的讨论，我们还可以讨论矩阵各列的线性相关性。