机器学习-决策树的基本思想
决策树算法是最早的机器学习算法之一。
算法框架
1.决策树主函数
各种决策树的主函数都大同小异，本质上是一个递归函数。该函数的主要功能是按照某种规则生长出决策树的各个分支节点，并根据终止条件结束算法。一般来讲，主函数需要完成如下几个功能。
（1）输入需要分类的数据集和类别标签
（2）根据某种分类规则得到最优的划分特征，并创建特征的划分节点--计算最优特征子函数
（3）按照该特征的每个取值划分数据集为若干部分--划分数据集子函数
（4）根据划分子函数的计算结果构建出新的节点，作为树生长出的新分支
（5）检验是否符合递归的终止条件
（6）将划分的新节点包含的数据集和类别标签作为输入，递归执行上述步骤。
2.计算最优特征子函数
计算最优特征子函数是除主函数外最重要的函数。每种决策树之所以不同，一般都是因为最优特征选择的标准上有所差异，不同的标准导致不同类型的决策树。如：ID3的最优特征选择标准是信息增益、C4.5是信息增益率、CART是节点方差的大小等。
在算法逻辑上，一般选择最优特征需要遍历整个数据集，评估每个特征，找到最优的那一个特征返回。
3.划分数据集函数
划分数据集函数的主要功能是分隔数据集，有的需要删除某个特征轴所在的数据列，返回剩余的数据集；有的干脆将数据集一分为二。
4.分类器
所有的机器学习算法都要勇于分类或回归预测。决策树的分类器就是通过遍历整个决策树，使测试集数据找到决策树中叶子节点对应的类别标签。这个标签就是返回的结果。
信息熵测度
特征集中的数据常常表现为定性字符串数据，称为标称数据，使用这些数据的算法缺乏泛化能力，在实际计算中需要将这些数据定量化为数字，也就是所谓的离散化。
数据特征的划分过程是一个将数据集从无序变为有序的过程。这样我们就可以处理特征的划分依据问题，即对于一个由多维特征构成的数据集，如何优选出某个特征作为根节点，如何每次都选出特征集中无序度最大的那列特征作为划分节点。
为了衡量一个事物特征取值的有（无）序程度，引入信息熵。
信息熵拆分：信息和熵
熵（Entropy）是德国物理学家克劳修斯在1850年创造的一个术语，用来表示任何一种能量在空间中分布的均匀程度。能量分布的越均匀，熵就越大。
信息就是对不确定性的消除。现实中，信息可以理解为系统从信源的消息转换的状态。在概率中我们称它是一个随机事件。通常，一个信源发送出什么事件是不确定的，可以根据其出现的概率来度量。概率越大，出现机会越多，不确定性小；概率越小，出现机会越少，不确定性越大。
不确定性函数I就称为事件的信息量，是事件U发生概率p的单调递减函数；两个独立事件所差生的不确定性应等于各自不确定性之和，即I(p1,p2) = I(p1) + I(p2)，这称为可加性。同时满足这两个条件的函数I是对数函数，即
I(U) = log(1/p) = -log(p)
在一个信源中，不能仅考虑某一单个事件发生的不确定性，而需要考虑信源所有可能情况的平均不确定性。若信源事件有n种取值：U1...Ui....Un，对应概率为p1...pi...pn，且各个事件的出现彼此独立。这时，信源的平均不确定性应当为单个符号不确定性-log pi的统计平均值（E），可称为信息熵，即
信息熵是事物不确定性的度量标准，也称为信息的单位或“测度”。在决策树中，它不仅能用来度量类别的不确性，也可以用来度量包含不同特征的数据样本与类别的不确定性。即某个特征列向量的信息熵越大，就说明该向量的不确定性程度越大，即混乱程度越大，就应优先考虑从该特征向量着手来进行划分。信息熵为决策树的划分提供了最重要的依据和标准。
首先，我们使用信息熵来度量类别标签对样本整体的不确定性。设S是s个数据样本的集合。假定类别标签具有m个不同值，定义m个不同类Ci(i=1,2,...,m)。设si是类Ci中的样本数。对一个给定的样本分类所需要的信息熵由下式给出
其中pi是任意样本属于Ci的概率，并用pi = si/|S|估计
接下来，我们使用信息熵来度量每种特征不同取值的不确定性。
设A具有v个不同值{a1,a2,...,av}。可以用特征A将S划分为v个子集{S1,S2,...Sv}。其中，Sj包含S中这样一些样本：它们在A上具有值aj。如果选A作测试特征，即最优划分特征，那么这些子集就是S节点中生长出来的决策树分支。设sij是子集Sj中类Ci的样本数。由A划分成子集的熵或期望信息由下式给出：
其中
是第j个子集的权，并且等于子集中的样本个数除以S中的样本总数。其信息熵值越小，子集划分的纯度越高。
其中，pij = sij/|Sj|是Sj中的样本属于类Ci的概率。
最后，我们使用信息增益来确定决策树分支的划分依据。它是决策树某个分支上整个数据集信息熵与当前节点信息熵的差值，用Gain(A)表示，那么在A上的分支将获得的信息熵增益就是
Gain(A) = I(s1,s2,...,sm) - E(A)
它是由于知道属性A的值而导致的熵的期望压缩。具有最高信息增益的特征就可选作给定集合S的测试属性。创建一个节点，并以该特征标记，对特征的每个值创建分支，并据此划分样本。
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