计算机科学及编程导论（8）算法的复杂度

1.基于问题规模的复杂度计算方法

在考虑时间效率的时候，面临以下两个问题：输入规模以及步骤。

输入规模受很多因素影响：参数大小、参数类型（数组、元组的存取小绿是不同的），而且不同操作步骤（加减、判断）时间也不是相同的，为了方便计算，我们需要建立以下的假设：

假设从计算机取得任何变量的时间是相同的

假设基本操作时间恒定

接下来就可以考虑以下几种情况：

最好情况：何种输入会使得程序的运行时间最短？

最坏情况：何种输入会使得程序的运行时间最长？

平均情况

如果考虑平均情况的话，就要去设想问题输入规模的分布情况，这样大大增加了计算的难度。因此，我们通常考虑的是最坏的情况，因为最坏情况能够让我们知道程序运行时间的上限，能够避免意外的发生。

2. 实例分析

实例一：计算a的b次方

方法一：常规方法

# 方法一：用常规方法计算a的b次方
def exp1(a,b):
    ans = 1 #一次
    while (b>0):  #3b次
        ans *= a
        b -= 1
    return ans #一次

程序执行的步骤为：1 + 3b + 1 = 2 + 3b次

b = 300 ， 执行次数：902；

b = 3000， 执行次数：90002；

b = 30000，执行次数，9000002；

可以发现，随着b的增长，2和3的作用越来越小，因为单单b就可以体现出函数的增长的上限。因此我们引入了Big O的概念：

Big O：upper limit to growth of function as the input gets large.

大 O：当问题规模变大时候对应的解决方法的增长上限

因此，方法一的时间复杂度为O(b).

方法二：递归方法

#方法二：递归方法求a的b次方
def exp2(a,b):
    if b == 1: #一次
        return a
    else:
        return a*exp2(a,b-1)  #2次，一次乘法，一次减法

首先我们假设时间为t(b)，可以进行如下推导：

t(b)=3+t(b-1)

=3+3+t(b-2)

=...

=3k + t(b-k)

其中，b-k=1，代入，因为t(1)=2,所以，可得

t(b)=3b-1

因此，方法二的时间复杂度仍然为O(b)

方法三：根据b奇偶性的不同分别进行判断

a**b：

b为偶数：(a*a)**(b/2)，规模减半

b为奇数：a*(a**(b-1))

#8.3 分类法求平方根
def exp3(a,b):
    if b == 1:
        return a
    if b%2 ==0:
        return exp3(a*a,b/2)
    else:
        return a*exp3(a,b-1)

可以简单计算出时间复杂度：

b为偶数: t(b) = 5 + t(b/2)

b为奇数：t(b) = 5 + t(b-1) = 10 + t(b-1/2)

也就是说，没经过两轮，规模减半，所以时间复杂度为O(logb)

实例2：时间复杂度为O(n²）的例子

这个例子很简单，不多说明

#8.4
def g(n): x=0
   for i in range(n):
      for j in range(m):
x += 1 return x

实例3：汉罗塔问题

主要介绍如何从递归角度来考虑汉罗塔问题

解题思路：

设三个圆盘的名称分别为为：fromstack（起始圆盘）、sparestack（空余圆盘）、tostack（目的圆盘）

如果个数为1，直接从fromstack移动到tostack

如果个数为n：

1. 将n-1个圆盘移动到sparestack
2. 将第n个圆盘移动到tostack
3. 然后将n-1个圆盘移动到tostack

代码：

#8.4 用递归方法求解汉罗塔问题
def Towers(size,fromStack,toStack,spareStack):
    if size == 1:
        print(‘Move disk from ‘,fromStack,‘to‘,toStack)
    else:
        Towers(size-1,fromStack,spareStack,toStack)
        Towers(1,fromStack,toStack,spareStack)
        Towers(size-1,spareStack,toStack,fromStack)

该算法的时间复杂度为O（n²）

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