首先是原题，转自UVAOJ
| The ? 1 ? 2 ? ... ? n = k problem |
The problem
Given the following formula, one can set operators ‘+‘ or ‘-‘ instead of each ‘?‘, in order to obtain a given k
? 1 ? 2 ? ... ? n = k
For example: to obtain k = 12 , the expression to be used will be:
- 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 - 7 = 12
with n = 7
The Input
The first line is the number of test cases, followed by a blank line.
Each test case of the input contains integer k (0<=|k|<=1000000000).
Each test case will be separated by a single line.
The Output
For each test case, your program should print the minimal possible n (1<=n) to obtain k with the above formula.
Print a blank line between the outputs for two consecutive test cases.
Sample Input
212-3646397
Sample Output
72701
Alex Gevak
September 15, 2000 (Revised 4-10-00, Antonio Sanchez)
简单说，就是一组从1开始到n的自然数序列，每个数字以前可以填写-号和+号，要求最后的结果等于另外给定的数字k。这里要求为了满足k，所能达到的最小的n。
分析：
此题当然可以穷举每个可能，但n个数需要穷举2^n次，也就是从1到n，需要穷举几何级数规模次，爆定了，抛弃；
但容易知道，当1到n1全是+号且和小于k时，不可能有解。因此，需要连加至sum > k时开始判断。
当sum > k时，设Q = sum - k，则k = sum -Q -> k = (1+2+3..+n) - Q。这里，需要转换该等式为1 + 2 - 3 - 4...+ n的形式。对于1到n而言，若欲改变特定数位正号为符号，需要减去两倍该数，而减去的数需从Q中分解，故有以下推论：
1、Q必须为偶数
2、当Q/2大于n时，需判断是否分解Q为x个不同偶数之和。
换言之，在n足够大时，由于任意大于4的偶数一定能分解为x个不同偶数之和同时2对应1而4对应2，我们就可以保证，当Q为偶数时，此时n为最小值；当Q为奇数时，由于无法将Q拆进原自然数序列，故此时n不是解。
前述断言，我想证明，但证明失败了。于是只能退而求其次，寻找结果为Q的不同偶数连续相加中的最大偶数。
如16 = 2 + 4 + 10，最大不重复偶数为10
设为函数fun，代码如下：
int fun(int x)
{
int left = 2;
int result = 0;
while(result == 0)
{
while(x - left < left)
{
if(left >= x)
{
result = left;
break;
}
left += 2;
}
x -= left;
left += 2;
}
return result;
}
这个函数返回最大偶数，跟n比较，若小于n，则证明偶数Q对应的n是解。
下面是全部代码
#include <stdio.h>
int main()
{
int n;
long long k;
int i;
int sum = 0;
int result = 0;
int flag = 0;
int temp;
int left;
int right;
scanf("%d",&n);
while(n--)
{
scanf("%lld",&k);
sum = 0;
flag = 0;
if(k < 0)
k = -1 * k;
for(i = 1;sum < k;i++)
sum += i;
i --;
if(sum == k)
{
result = i;
}
if(k == 0)
result = 3;
else
{
while(1)
{
temp = sum - k;
if(temp % 2 != 0)
{
i++;
sum += i;
continue;
}
else
{
int max = fun(k);
if(max <= n)
break;
}
}
if(k)result = i;
}
printf("%d\n",result);
if(n)printf("\n");
}
return 0;
}
先前，我的while里的条件是 n!=0，循环体里有n--，但是WR过不了，换成while（n--）就过了，真是百思不得其解。。。
托这个的福，连续刷了3个wrong answer。。。
遗留问题：
直觉上，感觉Q是偶数就能解，但是始终拿不出严格的数学证明。于是，只能选择判断最大偶数与n孰大孰小的方案。首先，1加到n减去偶数Q大于0，因此，分解出不同偶数连续和中的所有偶数数目小于n，同时，用最大值来与n比较，若大于n，则无论怎么分解都无法在1~n的自然数序列中找到与之对应的值，当前n为解；若小于n则证明当前n为解。