学校门口，四位手机尾号取快递。问：设有 \(n\) 个包裹，则存在两个包裹号码（收件人手机尾号，假设均匀分布）相同的概率 \(P(n)\) 是多少？
答曰：手机尾号一共有 \(10^4=10000\) 个，所以 \( P(n)=\frac{A_{10000}^n}{(10000)^n} \), 其中 \(A_n^r\) 为排列数。
求出表达式非常简单，然而计算具体值时却遇到了麻烦：分子和分母都太大了，IEEE 754 浮点数受不了了，直接扔给我个 Infinity.
怎么办呢？把排列数展开，取对数，乘除变加减：
\( \log{P(n)} \)
\( = \log{\frac{A_{10000}^n}{(10000)^n}} \)
\( =\log{A_{10000}^n}-n\log{10^4} \)
\( =\log{10^4(10^4-1)\cdots(10^4-n+1)}-4n\log{10} \)
\( =\log{10^4}+\log{(10^4-1)}+\cdots+\log{(10^4-n+1)}-4nlog{10} \)
不想这么麻烦的话，也有很精确的阶乘近似公式可用（这里就不限于整数了）：
\( \left\{\begin{matrix} n! = \Gamma(n+1) \\ \ln\Gamma(z) \approx \tfrac{1}{2} \left[\ln(2\pi) - \ln z\right] + z\left[\ln\left(z + \frac{1}{12z - \frac{1}{10z}}\right) - 1\right] \end{matrix}\right. \)
总之，最后能算出来具体的数。下面列出 n 取某些特殊值时的概率：
| n | 20 | 40 | 60 | 80 | 100 | 120 | 140 | 160 | 180 | 200 |
| P(n) | 2% | 8% | 16% | 27% | 39% | 51% | 62% | 72% | 80% | 87% |
\([20, 200]\) 区间内 \(y=P(x)\) 的函数图像如下（只有 \(x\) 等于整数的点有实际意义）：
看起来有点反直觉：重复的概率怎么这么大？确实这么大，只要手机尾号是均匀分布的。
不过，自己的号跟某个人的号一样（存在某个人跟自己同号）的概率并不大：
所以，重号的概率不小，但自己碰上的概率就很小了。（不过那大得吓人的重号概率还是很反直觉……）