poj 2478 Farey Sequence(基于素数筛法求欧拉函数)

http://poj.org/problem?id=2478

求欧拉函数的模板。

初涉欧拉函数，先学一学它基本的性质。

1.欧拉函数是求小于n且和n互质(包括1)的正整数的个数。记为φ(n)。

2.欧拉定理：若a与n互质，那么有a^φ(n) ≡ 1(mod n),经常用于求幂的模。

3.若p是一个质数,那么φ(p) = p-1，注意φ(1) = 1。

4.欧拉函数是积性函数：

若m与n互质，那么φ(nm) = φ(n) * φ(m)。

若n = p^k且p为质数，那么φ(n) = p^k - p^(k-1) = p^(k-1) * (p-1)。

5.当n为奇数时，有φ(2*n) = φ(n)。

6.基于素数筛的求欧拉函数的重要依据：

设a是n的质因数，若(N%a == 0 && (N/a)%a == 0) 则 φ(N) = φ(N/a)*a; 若(N%a == 0 && (N/a)%a != 0) 则φ(N) = φ(N/a)*(a-1)。

该题就是基于性质六，在线性时间内求欧拉函数。

#include <stdio.h>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <set>
#include <map>
#include <vector>
#include <math.h>
#include <string.h>
#include <queue>
#include <string>
#include <stdlib.h>
#define LL long long
#define _LL __int64
#define eps 1e-8
#define PI acos(-1.0)

using namespace std;
const int maxn = 1000010;
const int INF = 0x3f3f3f3f;

int n;
LL num[maxn];

LL phi[maxn]; //对应φ(i)
int flag[maxn]; //flag[i] = 0说明i是素数，否则不是素数
int prime[maxn];//存素数

void get_phi()
{
	int i,j,k;
	memset(flag,0,sizeof(flag));
	phi[1] = 1;
	k = 0;

	for(i = 2; i <= maxn; i++)
	{
		if(!flag[i]) //i是素数
		{
			phi[i] = i-1;
			prime[++k] = i;
		}
		for(j = 1; j <= k && prime[j]*i <= maxn; j++)
		{
			flag[i*prime[j]] = 1;
			if(i % prime[j] == 0)
				phi[i*prime[j]] = phi[i] * prime[j];
			else phi[i*prime[j]] = phi[i] * (prime[j]-1);
		}
	}
}

int main()
{
	get_phi();
	num[1] = 0;
	for(int i = 2; i <= maxn; i++)
		num[i] = num[i-1] + phi[i];

	while(~scanf("%d",&n)&&n)
		printf("%lld\n",num[n]);

	return 0;
}

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