分享一道数列证明题

两个整数数列a₁,a₂,…和b₁,b₂,….满足方程(a_n-a_n-1)(a_n-a_n-2)+(b_n-b_n-1)(b_n-b_n-2)=0,其中n=3,4,…。证明存在正整数k使得a_k=a_k+2014.

[解]设在平面直角坐标系下P_n(a_n,b_n)

将(a_n-a_n-1)(a_n-a_n-2)+(b_n-b_n-1)(b_n-b_n-2)=0

写成

故点P_n在以P_n-1P_n-2为直径的圆上。

记d_n=|P_nP_n+1|²=(a_n-a_n+1)²+(b_n-b_n+1)².

则显然{d_n}是整数列，且由点P_n在以P_n-1P_n-2为直径的圆上，知{d_n}单调不增。

因此存在足够大的n,使得0=d_n=d_n+1=d_n+2=…，0<d_n=d_n+1=d_n+2=…，

即P_k=P_k+1或P_k=P_k+2(k≥n).

于是，a_k=a_k+1或a_k=a_k+2(k≥n).

这都说明，存在k(k≥n)，使得a_k=a_k+2014.

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