一般线性回归函数的假设函数为：
对应的损失函数为：
（这里的1/2是为了后面求导计算方便）
下图作为一个二维参数（
，
）组对应能量函数的可视化图：
下面我们来比较三种梯度下降法
批量梯度下降法BGD （Batch Gradient Descent）
我们的目的是要误差函数尽可能的小，即求解weights使误差函数尽可能小。首先，我们随机初始化weigths，然后不断反复的更新weights使得误差函数减小，直到满足要求时停止。这里更新算法我们选择梯度下降算法，利用初始化的weights并且反复更新weights：
这里
代表学习率，表示每次向着J最陡峭的方向迈步的大小。为了更新weights，我们需要求出函数J的偏导数。首先当我们只有一个数据点（x,y）的时候，J的偏导数是：
则对所有数据点，上述损失函数的偏导（累和）为：
再最小化损失函数的过程中，需要不断反复的更新weights使得误差函数减小，更新过程如下：
那么好了，每次参数更新的伪代码如下：
由上图更新公式我们就可以看到，我们每一次的参数更新都用到了所有的训练数据（比如有m个，就用到了m个），如果训练数据非常多的话，是非常耗时的。
下面给出批梯度下降的收敛图：
从图中，我们可以得到BGD迭代的次数相对较少。
随机梯度下降法SGD(Stochastic Gradient Descent）
由于批梯度下降每跟新一个参数的时候，要用到所有的样本数，所以训练速度会随着样本数量的增加而变得非常缓慢。随机梯度下降正是为了解决这个办法而提出的。它是利用每个样本的损失函数对θ求偏导得到对应的梯度，来更新θ：
更新过程如下：
随机梯度下降是通过每个样本来迭代更新一次，对比上面的批量梯度下降，迭代一次需要用到所有训练样本（往往如今真实问题训练数据都是非常巨大），一次迭代不可能最优，如果迭代10次的话就需要遍历训练样本10次。但是，SGD伴随的一个问题是噪音较BGD要多，使得SGD并不是每次迭代都向着整体最优化方向。
解释一下为什么SGD收敛速度比BGD要快：
这里我们假设有30万个样本，对于BGD而言，每次迭代需要计算30万个样本才能对参数进行一次更新，需要求得最小值可能需要多次迭代（假设这里是10）；而对于SGD，每次更新参数只需要一个样本，因此若使用这30万个样本进行参数更新，则参数会被迭代30万次，而这期间，SGD就能保证能够收敛到一个合适的最小值上了，也就是说，在收敛时，BGD计算了10*30万次，而SGD只计算了1*30万次。
随机梯度下降收敛图如下：
我们可以从图中看出SGD迭代的次数较多，在解空间的搜索过程看起来很盲目。但是大体上是往着最优值方向移动。
所以SGD迭代次数比BGD要多，但是其收敛速度要快于BGD。
小批量梯度下降法MBGD（Mini-Batch Gradient Descent ）
我们从上面两种梯度下降法可以看出，其各自均有优缺点，那么能不能在两种方法的性能之间取得一个折衷呢？即，算法的训练过程比较快，而且也要保证最终参数训练的准确率，而这正是小批量梯度下降法的初衷。
MBGD的思想是：每次迭代使用batch_size个样本来对参数进行更新。
这里我们假设batch_size=10，样本数m=1000
更新伪代码如下：
优点：每次使用一个batch可以大大减小收敛所需要的迭代次数，同时可以使收敛到的结果更加接近梯度下降的效果。
缺点：batch_size的不当选择可能会带来一些问题。
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