Number Sequence

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Problem Description

Given a number sequence b₁,b₂…b_n.

Please count how many number sequences a₁,a₂,...,a_n satisfy the condition that a₁*a₂*...*a_n=b₁*b₂*…*b_n (a_i>1).

Input

The input consists of multiple test cases.

For each test case, the first line contains an integer n(1<=n<=20). The second line contains n integers which indicate b₁, b₂,...,b_n(1<b_i<=1000000, b₁*b₂*…*b_n<=10²⁵).

Output

For each test case, please print the answer module 1e9 + 7.

Sample Input

2
3 4

Sample Output

4

Hint

For the sample input, P=3*4=12.
Here are the number sequences that satisfy the condition:
2 6
3 4
4 3
6 2

Source

2012 Multi-University Training Contest
10

题意：

求一个数列 a1,a2,..an,使a 1*a 2*...*a n=b 1*b 2*…*b n ，其中ai>1;

思路：

刚开始没什么思路，在网上找了很久，发现很多博客都是千篇一律的，后来总结了一下。。

1.先对每个bi跟姐质因数，用map保存每个因子出现的次数，此时ai*a2*...an的质因子为map保存的；

2.现在的问题就是将n个相同的数放进m个盒子里，假设盒子可为空，则所有情况为C(n+m-1,n-1),然后，对map里保存的因子个数逐个代入计算，

再应用乘法原理就可以求出盒子可为空时所有的情况。

3.题目要求盒子不可为空，这就要用到数学归纳法了：

f[i]-放入i个数能够为空的种数，g[i]-放入i个数不能为空的种数：

f[1]=g[1]

f[2]=g[2]+C(2,1)*g[1],

f[3]=g[3]+C(3,1)*g[2]+C(3,2)*g[1],

......

g[n]=f[n]-C(n,1)*f[n-1]+C(n,2)*f[n-2]-...

依次计算有i个盒子为空的组合数，应用容斥原理：-g[1]+g[2]-g[3]+g[4]....;

My Code:

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<string>
#include<algorithm>
#include<cstdlib>
#include<set>
#include<queue>
#include<stack>
#include<vector>
#include<map>

#define N 100010
#define mod 1000000007
#define lson l,mid,idx<<1
#define rson mid+1,r,idx<<1|1
#define lc idx<<1
#define rc idx<<1|1
const double EPS = 1e-11;
const double PI = acos(-1.0);
const double E=2.718281828;
typedef long long ll;

const int INF=1000010;

using namespace std;

int C[1001][45];///组合数
map<int,int>mp;

void init()
{
    for(int i=0; i<=1000; i++)
        C[i][0]=1;///i个选0个为1；
    for(int i=1; i<=1000; i++)
        for(int j=1; j<=42; j++)
            C[i][j]=(C[i-1][j]+C[i-1][j-1])%mod;///c(n,k)=c(n-1,k)+c(n-1,k-1),可以自己证明
}

void Fenjie(int n)///分解质因数
{
    for(int i=2; i*i<=n; i++)
    {
        if(n%i==0)
        {
            while(n%i==0)
            {
                mp[i]++;
                n/=i;
            }
        }
        if(n==1)
            break;
    }
    if(n>1)
        mp[n]++;
}

int main()
{
    init();
    int n;
    while(cin>>n)
    {
        mp.clear();
        int b;
        for(int i=0; i<n; i++)
        {
            scanf("%d",&b);
            Fenjie(b);
        }
        ll ans=0;
        for(int i=0; i<n; i++)///容斥原理
        {
            ll tem=C[n][i];
            map<int,int>::iterator it;
            for(it=mp.begin(); it!=mp.end(); it++)///计算有i个盒子为空的组合数
            {
                int t=it->second+n-i-1;
                tem*=C[t][n-i-1];
                tem%=mod;
            }
            if(i%2)
                ans-=tem,ans+=mod;
            else
                ans+=tem;
            ans%=mod;
        }
        cout<<ans%mod<<endl;
    }
    return 0;
}