前《初识压缩感知Compressive Sensing》中我们已经讲过了压缩感知的作用和基本想法，涉及的领域，本文通过学习陶哲轩对compressive sensing（CS）的课程，对压缩感知做进一步理解。针对其原理做出解说。本文较为理论性，代码请參考《“压缩感知”之“Hello world”》。
Keywords: 压缩感知 compressive sensing, 稀疏（Sparsity）、不相关（Incoherence）、随机性（Randomness）
主要内容
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回顾传统压缩
压缩感知概念 &线性度量
压缩感知适合解决什么问题？
压缩感知是否可行？
如何恢复原信号？
Basis Pursuit & RIP
噪声
线性编码应用——single pixel camera
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回顾传统压缩
对于原始信号x∈C(N*1)，传统压缩是构造正交矩阵D∈C（N*N）,正变换为y=Dx, 反变换x=D-1y= DTy, D-1= DT。
将初始信号x变换到y∈C(N*1)后，将保留当中的K个分量（K人工指定），对其它N-K个分量置零，这种信号y就称为K稀疏（K-Sparse）的。
于是得到编码策略例如以下：
Code（编码）：构造正交矩阵D，做正变换y=Dx, 保留y中最重要的K个分量及其相应位置。
Decode（解码）：将K个分量及其相应位置归位，其它位置置零，得到y，构造D，并用x=D-1y恢复x。
换句话说，传统压缩就是构造正交阵进行编解码，将所有N维信号所有存储下来。
其弊端是，
1. 由于香农定理的限制，採样频率非常大。这样造成了原始信号非常长（N非常大），消耗时间和空间。
2. K个重要分量要分别存储其位置，多分配空间。
3. K中分量（在传输过程中）丢失的话不好恢复。
[ S-sparse ]:A model case occurs when x is known to be S-sparse for some 1≤S≤n, which means that at most S of the coefficients of x can be non-zero.
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压缩感知概念 & 线性度量
卍 压缩感知初识（详见上一篇详细介绍）：
与传统压缩不同的是。压缩感知採用的y=Dx中，D不是N*N, 而是D∈C(M*N)的，当中M<N,也就是说D是一个扁矩阵，未知数个数大于方程个数。对于方程Dx=y, x∈C(N*1),y∈C(M*1),
我们知道，当M>=N的时候，这是一个determined或over-determined的problem。并且easy求解；而M<N的时候问题是under-determined的，如果我们如果x是稀疏的，最好的solution就是能够满足Ax≈b的最稀疏的x。CS惊人之处就是能够解决这种under-determined的问题：给定M*1的y，能够依据D恢复出N*1的x, 当中M<<N。如果x是S稀疏（S-sparse）的（或者想要让它是S稀疏的），那么我们仅仅须要取那S个度量（from N个未知量x）就好了。
卍 线性度量：
对于上面的问题y=Dx, 当M<N时我们已知有无穷多解。如果x0是当中一个特解的话，那么通解形式即为x0+WZ，当中W∈C(N*（N-M）),是D的零空间的一组基。Z是这组基的线性组合。总有DWZ=0。
所以我们的任务就是找x0+WZ中最稀疏的解x（为什么找最稀疏的后面会有证明的定理）。
这里。原先传统压缩中N*N的D越冗余，其零空间越大，寻找更稀疏矩阵的选择越多（即x0+WZ越多）。
卍 求解问题：
[example of CS-imaging]：（from ppt of 陶哲轩）
A typical example of when this assumption is reasonable is in imaging. An image may consist of ～106 pixels and
thus require a vector of n～106 to fully represent. But, if expressed in a suitable wavelet basis, and the image does
not contain much noise or texture, only a small fraction (e.g. 104) of the wavelet coefficients should be significant.
(This is the basis behind several image compression algorithms, e.g. JPEG2000.)
Intuitively, an S-sparse vector x has only S degrees of freedom, and so one should now be able to reconstruct x using only S or so measurements.This is the philosophy of compressed sensing(or compressive sensing, or compressive sampling): the number of measurements needed to accurately capture an object should be comparable to its compressed size, not its uncompressed size.
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压缩感知适合解决什么问题？
卍 信号是稀疏的
卍 sensor方计算代价较大，receiver方计算代价较小（即不适合将信息所有存储下来，而适合取少量信息。之后恢复）
PS：single-pixel camera之后讲(*^__^*)
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压缩感知是否可行？
说起这个问题可能有人会奇怪。什么叫是否可行呢？就是说给出D和M维的y，能否够唯一地把x恢复出来？答案是肯定的！
Compressive Sensing中有两个问题，对于
- 一个是如何确定出一个stable的基θ，或者測量矩阵Φ
- 还有一个是如何进行信号x的恢复（下一小节）
首先看看怎么确定一个stable的基：
2 conditions：下图是说明了一切。
定理：如果Ax=b中，A是m*n的矩阵。x是n维向量，y是m维向量，A中随意2S列都是线性无关的(即无法线性组合得到0向量)。则s-sparse的向量x能够被b和A唯一地重构出来，i.e.
证明：如果能够重建出两个向量x,x‘同一时候满足Ax=Ax‘=b,当中x和x‘都是S-Sparse的；那么就有A(x-x‘)=0; 由于x-x‘中非零元素个数<=2S，所以x-x‘是2S-Sparse的，又由于给出条件A中随意2S个列向量都是线性独立（线性无关）的，这就与A(x-x‘)=0矛盾了，所以如果不成立。即。能够依据b和A唯一地恢复出x∈C(n*1)。
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如何恢复原信号？
我们已知所选择的最稀疏的x即x中非零元素最少的。即x的零范数最小的（向量的零范数即为其稀疏度sparsity）。
然而，求x=argmin||x||0使得x满足Ax=b的一个子问题是一个NP全然问题，须要在S个compoments中选出1,2,...,n个，看能从中选出最少多少个，满足Ax=b,这样。对于每个n都有排列组合C(S,n)种方法，显然不可行。所以我们想能不能换个什么方法来恢复信号。自然而然的，我们想到了最小平方法。
详细见下图Fig B。
Fig A. 用二范数取代零范数
Fig B. L2范数下寻找满足Ax=b的x，发现有一定偏差。
symmerize:
2-methods to methods:
1. L2-norm: quick, efficient, but get the wrong answer
2. L0-norm: precise but impractical
否定了L0范数和L2范数之后，我们想到取中——用L1范数（Basis pursuit的思路）。
so get select the L1-norm , that is the abs of each element
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Basis Pursuit & RIP
Basis pursuit的方法在2000年由Candes-Romberg-Tao, Donoho提出，其基本思路见下图（以二维为例）：
从图中可见，L1-norm比L2-norm靠谱多了。从上图中可见。x*处，x的L1-norm最小，这样推广到n维向量x。就是其每一维的值的绝对值的和。
以下这个Theorem就是对L1-norm方案（Basis pursuit）可行性的定理（详细证明看论文吧）：大概是说，原始S-sparse的信号f为n维。从当中随机抽取m维分量。如果想利用Basis pursuit的方法把这m维向量重建出n维原始信号，仅仅要满足m>cS*log(n)就可以。当中c是一个常数。
非常多实验结果表明呢。大多数S-sparse信号 f 能够在m>=4*S的时候得以非常好的重建，由此有了以下更强的RIP如果：
如果A中随意4S列都是差点儿正交的。i.e. 在这4S列中。前4S个神秘值都在[0.9,1,1]范围内。则随意S-sparse信号x能够通过basis pursuit 由 Ax重建。
2006年。Tao和Donoho的弟子Candes合作证明了在RIP条件下，0范数优化问题与以下1范数优化问题具有同样的解
上面已经说过一个定理：对于Ax=b，A中随意2S列都线性独立，则随意S-sparse的向量x都能够被恢复出来，这是理论上的说法。实际上，利用basis pursuit进行恢复时须要增强条件：A中的每4S列都是差点儿正交的。这个精确的条件就是RIP。很多matrix都服从这个条件。
补充：
实际上以上的1范数优化问题是一个凸优化。故而必定有唯一解，至此sparse representation的大坑初步成型。总结一下：
- 如果矩阵满足sparsity=2S，则0范数优化问题有唯一解。
- 进一步如果矩阵A满足RIP条件。则0范数优化问题和1范数优化问题的解一致。
- 1范数优化问题是凸优化。故其唯一解即为0范数优化问题的唯一解。
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噪声
实际应用中，我们用b=Ax+z来进行拟合，对付噪声的干扰，当中z是高斯噪声向量。
Fig. Reconstructing a sparse signal x approximately from noisy data b=Ax+z, assuming that z has norm less than error tolerance e.
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CS应用——single pixel camera
Rice大学首先研究出的单像素相机是CS的一个主要应用。
test image(65536 pixels ) and CS construction using 11000 and 1300 measurements
Reference：
我都整合起来放在这里了。当中包含陶哲轩的讲座内容，我对其做的笔记，和大牛的一些解释。对CS的一个基本代码写在了下一篇《“压缩感知”之“Hello world”》，另外推荐一篇非常好的博文。嗯。
。。
还有两篇文章值得一看。一是《Compressive Sensing (Signal Processing Magazine 2007 715‘)》。二是《An introduction to compressive sampling (Signal Processing Magazine 2008 1061‘)》。
关于Compressive Sensing很多其它的学习资料将继续更新。敬请关注本博客和新浪微博Sophia_qing。