子矩阵（暴搜（全排列）+DP）
一、题目
子矩阵
时间限制: 1 Sec 内存限制: 128 MB
提交: 1 解决: 1
题目描述
给出如下定义：
1. 子矩阵：从一个矩阵当中选取某些行和某些列交叉位置所组成的新矩阵（保持行与列的相对顺序）被称为原矩阵的一个子矩阵。
例如，下面左图中选取第2、4行和第2、4、5列交叉位置的元素得到一个2*3的子矩阵如右图所示。
9 3 3 3 9
9 4 8 7 4
1 7 4 6 6
6 8 5 6 9
7 4 5 6 1
的其中一个2*3的子矩阵是
4 7 4
8 6 9
2. 相邻的元素：矩阵中的某个元素与其上下左右四个元素（如果存在的话）是相邻的。
3. 矩阵的分值：矩阵中每一对相邻元素之差的绝对值之和。
本题任务：给定一个n行m列的正整数矩阵，请你从这个矩阵中选出一个r行c列的子矩阵，使得这个子矩阵的分值最小，并输出这个分值。
输入
第一行包含用空格隔开的四个整数n，m，r，c，意义如问题描述中所述，每两个整数之间用一个空格隔开。
接下来的n行，每行包含m个用空格隔开的整数，用来表示问题描述中那个n行m列的矩阵。
输出
输出共1行，包含1个整数，表示满足题目描述的子矩阵的最小分值。
样例输入
输入样例#1：
5 5 2 3
9 3 3 3 9
9 4 8 7 4
1 7 4 6 6
6 8 5 6 9
7 4 5 6 1
输入样例#2：
7 7 3 3
7 7 7 6 2 10 5
5 8 8 2 1 6 2
2 9 5 5 6 1 7
7 9 3 6 1 7 8
1 9 1 4 7 8 8
10 5 9 1 1 8 10
1 3 1 5 4 8 6
样例输出
输出样例#1：
6
输出样例#2：
16
【输入输出样例1说明】
该矩阵中分值最小的2行3列的子矩阵由原矩阵的第4行、第5行与第1列、第3列、第4列交叉位置的元素组成，为
6 5 6
7 5 6
，其分值为
|6?5| + |5?6| + |7?5| + |5?6| + |6?7| +
|5?5| + |6?6| =6。
【输入输出样例2说明】
该矩阵中分值最小的3行3列的子矩阵由原矩阵的第4行、第5行、第6行与第2列、第6列、第7列交叉位置的元素组成，选取的分值最小的子矩阵为
9 7 8 9 8 8 5 8 10
提示
对于50%的数据，1 ≤ n ≤
12，1
≤ m ≤ 12，矩阵中的每个元素1 ≤ a[i][j] ≤ 20；
对于100%的数据，1 ≤ n ≤
16，1
≤ m ≤ 16，矩阵中的每个元素1 ≤ a[i][j] ≤ 1,000，
1 ≤ r ≤ n，1 ≤ c ≤ m。
二、分析及代码
子矩阵：
方法一：暴力搜索
最大时间复杂度为O(C(16,8)*C(16,8));
只有一半分
方法二：直接想DP，不好想
方法三：暴力搜索+DP
最大时间复杂度为O(C(16,8)*n3);
我们先用暴力选好行，再用dp对列进行操作。
状态：
dp[i][j]表示前i列里选j列的子矩阵最大分值
最终状态：
状态为什么不是dp[m][c]
min(dp[i][c]) 因为下面那么写状态转移方程默认最后选的那一列就是第i列
初始状态：
dp[i][0]=0，dp[0][i]=0,dp[i][i]=行的分值+列的分值
状态转移方程：
dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[k][j-1]+val[i]+cost[k][i]); （j-1<=k<i）
dp[i][j]表示前i列里选j列的子矩阵最大分值
a[i]表示 第i列选到的行的总差值
b[k][i]表示选到的每一行第k列和第i列之间的差值
k表示除i之外最后一列的编号
dp[5][3]= min(dp[5][3],dp[k][j-1]+val[i]+cost[k][i]);
j-1<=k<i
DP过程：
i…1->n
j…1->i
k…j-1->i-1
dp[5][3]= min(dp[5][3],dp[k][2]+val[i]+cost[k][i]);
2<=k<=4
k==2: dp[5][3]= min(dp[5][3],dp[2][2]+val[i]+cost[k][i]);
k==3: dp[3][2] +val[i]+cost[k][i]
k==4: dp[4][2] +val[i]+cost[k][i]
1 #include<cmath>
2 #include<cstdio>
3 #include<iostream>
4 #include<algorithm>
5 #define MAXN 20
6
7 using namespace std;
8
9 int a[MAXN][MAXN],n,m,r,c,ans;
10
11 int R[MAXN],cost[MAXN][MAXN],dp[MAXN][MAXN],val[MAXN];
12
13 inline void read(int &x) {
14 int f=1;x=0;char c=getchar();
15 while(c>‘9‘||c<‘0‘) {if(c==‘-‘) f=-1;c=getchar();}
16 while(c>=‘0‘&&c<=‘9‘) {x=(x<<1)+(x<<3)+c-48;c=getchar();}
17 x=x*f;
18 }
19
20 void printArr_dp(){
21 for(int i=1;i<=n;i++){
22 for(int j=1;j<=m;j++){
23 printf("%4d ",dp[i][j]);
24 }
25 cout<<endl;;
26 }
27 }
28
29 inline int DP() {
30 int ret=1e9;
31 for(int i=1;i<=m;i++) { //在第i列之间的数的差值之和
32 val[i]=0;
33 for(int j=1;j<r;j++)
34 val[i]+=abs(a[R[j]][i]-a[R[j+1]][i]);
35 }
36
37 for(int i=1;i<=m;i++) //处理在第i列与第j列之间 数的差值之和
38 for(int j=i+1;j<=m;j++) {
39 cost[i][j]=0;
40 for(int k=1;k<=r;k++)
41 cost[i][j]+=abs(a[R[k]][i]-a[R[k]][j]);
42 }
43
44 for(int i=1;i<=m;i++) //前i列之中 第i列强制选择
45 for(int j=1;j<=i&&j<=c;j++) { //已经选了j列
46 dp[i][j]=1e9;
47 for(int k=j-1;k<i;k++) // 从j-1列开始 在第j-1列到第i列之中选第j列 再加上第i列的花费
48 dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[k][j-1]+cost[k][i]+val[i]); //在前k列中选取了j-1列 再选取第j列
49 }
50
51 for(int i=c;i<=m;i++) //在前i列中选了c列
52 ret=min(ret,dp[i][c]);
53
54 // printArr_dp();
55 // cout<<endl;
56 return ret;
57
58 }
59 //now为当前遍历的行的编号，cnt为找到的行的数目，找到的行的编号放在 R[]数组中
60 inline void slect(int now,int cnt) {// 任意选取r行
61 if(now>n) {//n行都搜索完了
62 if(cnt==r) ans=min(ans,DP());//这r行找好了，我们就DP
63 return;
64 }
65 slect(now+1,cnt);//不选这一行
66 R[cnt+1]=now;//记录选的这行
67 slect(now+1,cnt+1);//选这一行
68 return;
69 }
70
71 int main() {
72 freopen("submatrix.txt","r",stdin);
73 read(n);read(m);read(r);read(c);
74 for(int i=1;i<=n;i++)
75 for(int j=1;j<=m;j++)
76 read(a[i][j]);
77 ans=1e9;
78 slect(1,0);
79 printf("%d\n",ans);
80 return 0;
81 }