Median of Two Sorted Array---LeetCode

这道题比较直接的想法就是用Merge
Sorted Array这个题的方法把两个有序数组合并，当合并到第(m+n)/2个元素的时候返回那个数即可，而且不用把结果数组存起来。算法时间复杂度是O(m+n)，空间复杂度是O(1)。因为代码比较简单，就不写出来了，跟Merge
Sorted Array比较类似，大家可以参照这个题目的解法。

接下来我们考虑有没有优化的算法。优化的思想来源于order statistics，在算法导论10.3节中提到。问题等价于求两个array的第k=(m+n)/2（假设m和n分别是两个数组的元素个数）大的数是多少。基本思路是每次通过查看两个数组的第k/2大的数(假设是A[k/2],B[k/2])，如果两个A[k/2]=B[k/2]，说明当前这个数即为两个数组剩余元素的第k大的数，如果A[k/2]>B[k/2],
那么说明B的前k/2个元素都不是我们要的第k大的数，反之则排除A的前k/2个，如此每次可以排除k/2个元素，最终k=1时即为结果。总的时间复杂度为O(logk),空间复杂度也是O(logk)，即为递归栈大小。在这个题目中因为k=(m+n)/2,所以复杂度是O(log(m+n))。比起第一种解法有明显的提高，代码如下：

    public double findMedianSortedArrays(int A[], int B[]) {
        if((A.length+B.length)%2==1)
            return helper(A,B,0,A.length-1,0,B.length-1,(A.length+B.length)/2+1);
        else
            return (helper(A,B,0,A.length-1,0,B.length-1,(A.length+B.length)/2)
                   +helper(A,B,0,A.length-1,0,B.length-1,(A.length+B.length)/2+1))/2.0;
    }
    private int helper(int A[], int B[], int i, int i2, int j, int j2, int k)
    {
        int m = i2-i+1;
        int n = j2-j+1;
        if(m>n)
            return helper(B,A,j,j2,i,i2,k);
        if(m==0)
            return B[j+k-1];
        if(k==1)
            return Math.min(A[i],B[j]);
        int posA = Math.min(k/2,m);
        int posB = k-posA;
        if(A[i+posA-1]==B[j+posB-1])
            return A[i+posA-1];
        else if(A[i+posA-1]<B[j+posB-1])
            return helper(A,B,i+posA,i2,j,j+posB-1,k-posA);
        else
            return helper(A,B,i,i+posA-1,j+posB,j2,k-posB);
    }  

实现中还是有些细节要注意的，比如有时候剩下的数不足k/2个，那么就得剩下的，而另一个数组则需要多取一些数。但是由于这种情况发生的时候，不是把一个数组全部读完，就是可以切除k/2个数，所以不会影响算法的复杂度。

这道题的优化算法主要是由order statistics派生而来，原型应该是求topK的算法，这个问题是非常经典的问题，一般有两种解法，一种是用quick select(快速排序的subroutine),另一种是用heap。 复杂度是差不多的，有兴趣可以搜一下，网上资料很多，topK问题在海量数据处理中也是一个非常经典的问题，所以还是要重视。

(PS:由于题目要求时间复杂度为O(log(m+n))),说明在这个过程必须体现出二分查找，首先对于中位数必须有一个明确的认识，如果有奇数个数，那么中位数就是中间的那个数，如果有偶数个数，必须是中间两个数的平均数。再来考虑二分查找是依据什么二分呢？是根据中位数在两个数组中的位置来进行二分查找。如果一直未两个数组来二分，是查不到最终的结果。 
如果题目要求事件复杂度为O（n）,这样就有很多种方法来实现这个问题，遍历两个数组，找到第k大，如果是多个数组，那么就可以使用heap作为辅助结构。这里的二分是以k/2