http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1695
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2 大意： a<=x<=b , c<= y <= d ，求在此范围内 有多少组x，y 满足 gcd(x,y) = k ; a=c=1（题目有问题）gcd(x,y),gcd(y,x) 算一个
3 思路： 也就是求 1 - - b/k, 1 -- d/k 内有多少个数互素，
4 1、 若k =0， 则 res =0， 因为任何两个数的gcd 不可能为 0
5 2、 若k ！=0 ， 设b = b/k, d = d/k， 默认 d>b 那么
6 对于1-b 之间的互质的数 就是欧拉函数，
7 对于b+1 -- d 从b+1 -- d 之间找一个数y， 在 1 - b 之间寻找与其互质的数。 那么 1 -b 之间的数 肯定不含有y的质因子， 那么将y 质因数分解， 在 1 -- b 之间的数，中除掉 含有 y因子的数（注意这里不只是质因子，是y所有的因子）。。 剩下的即为所求。。
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9 别人的解释
10 求[1..b]中的x和[1..d]中的y有多少gcd(x,y) = k.
11 要求gcd(x,y) = k，则等价于求 gcd(x/k,y/k) = 1.所以问题转化成求[1..b/k]和[1..d/k]中有多少对gcd(x,y) = 1.
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13 进一步转换成 枚举[1,d]区间里的n与][1, b]的区间的数互质的个数,这里d>=b.
14 因为[1,b]包含在[1,d]里,所以[1,b]相当于累加欧拉函数phi(i)的值,而[b + 1, d]这个区间可以通过容斥原理来求出.
15 要求n与][1, b]的区间的数互质的个数,可以考虑求与n不互质数的个数v, 那么互质的数自然就是b - v.
16 所以分解n的素因子,考虑n的素因子pi,则[1, b]中与pi不互质的数的个数是[b/pi](即其multiples).
17 如果这样累加[b/pi]的话则会加上很多重复的值(一个数可能有多个素因子),这里容斥原理就派上用场了.
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22 #include <iostream>
23 #include <cmath>
24 #include <algorithm>
25 #include <cstring>
26 #include <cstdio>
27 using namespace std;
28 const long long maxn = 100050;
29 long long phi[maxn];
30 long long priD[maxn];
31 long long len;
32
33 void euler(long long n){
34 len =0;
35 long long m = (long long )sqrt(n+0.5);
36 for(int i=2;i<=m;i++) if(n%i==0){
37 priD[len++] = i;
38 while(n%i==0)
39 n = n/i;
40 }
41 if(n>1)
42 priD[len++] = n;
43 }
44
45 void phi_table(){
46 for(int i=2;i<maxn;i++)
47 phi[i] =0;
48 phi[1] =1;
49 for(int i=2;i<maxn;i++)if(!phi[i]){
50 for(int j=i;j<maxn;j+=i){
51 if(!phi[j]) phi[j] =j;
52 phi[j] = phi[j] /i *(i-1);
53 }
54 }
55 }
56
57 long long solve(long long n){
58 long long sum =0;
59 for(long long i=1;i<1ll<<len;i++){
60 long long tmp =1;
61 long long flag =0;
62 for(int j =0;j<len;j++){
63 if(i&(1ll<<j)){
64 flag ++;
65 tmp *= priD[j];
66 }
67 }
68 if(flag%2)
69 sum += n/tmp;
70 else
71 sum -= n/tmp;
72 }
73 return sum;
74 }
75
76 int main()
77 {
78 phi_table();
79 int t;
80 cin>>t;
81 int cnt;
82 long long a,b,c,d,k;
83 for(cnt =1;cnt<=t;cnt++){
84 cin>>a>>b>>c>>d>>k;
85 if(k==0){
86 cout<<"Case "<<cnt<<": "<<0<<endl;
87 continue;
88 }
89 b = b/k;
90 d = d/k;
91 if(b>d){
92 swap(b,d);
93 }
94 long long res =0;
95 for(int i=1;i<=b;i++)
96 res += phi[i];
97 for(int i=b+1;i<=d;i++){
98 euler(i);
99 res += (b - solve(b));
100 }
101 cout<<"Case "<<cnt<<": "<<res<<endl;
102 }
103 return 0;
104 }
hdu1695 GCD
时间： 2024-10-13 15:40:59