【题解】CodeChef - TREDEG (prufer+生成函数+多项式exp)

【题解】CodeChef - TREDEG (prufer+生成函数+多项式exp)

好毒瘤的数据范围...

先转prufer，现在问题就变成了我要生成一个\(n-2\)长度的序列，每一种序列的权值定义为每种数的\(\prod\)(每种数出现个数+1)，可以直接使用指数型生成函数生成，具体的：
\[
(\sum_{i=0} {i+1\over i!}x^i)^n[x^{n-2}](n-2)!
\]
这个就生成这个序列的答案了。用exp搞个快速幂就完事了。

最终答案的式子
\[
(\sum_{i=0} {i+1\over i!}x^i)^n[x^{n-2}](n-2)!\over n^{n-2}
\]

然后数据范围要我们单独做\(k=1\)，那么把\((\sum_{i=0} {i+1\over i!}x^i)^n[x^{n-2}]\)单独拿出来
\[
(\sum_{i=0} {i+1\over i!}x^i)^n[x^{n-2}]
\]
用\(e^x\)代替
\[
(xe^x+e^x)^n[x^{n-2}]
\]
二项式定理展开
\[
[x^{n-2}]\sum {n\choose i} x^ie^{ix}e^{(n-i)x}
\]
合并
\[
[x^{n-2}]\sum {n\choose i} x^ie^{nx}
\]
化简一下
\[
\sum {n\choose i} e^{nx}[x^{n-2-i}]
\]
泰勒展开一下
\[
\sum {n\choose i} {n^{n-2-i}\over (n-2-i)!}
\]
就可以\(O(n)\)算了。

代码:(很长)

//@winlere
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
//#define getchar() (__c==__ed?(__ed=__buf+fread(__c=__buf,1,1<<18,stdin),*__c++):*__c++)

using namespace std;  typedef long long ll;   char __buf[1<<18],*__c=__buf,*__ed=__buf;
inline int qr(){
    int ret=0,f=0,c=getchar();
    while(!isdigit(c)) f|=c==45,c=getchar();
    while( isdigit(c)) ret=ret*10+c-48,c=getchar();
    return f?-ret:ret;
}

const int maxn=1<<22;
const int mod=998244353;
const int g=3;
const int gi=(mod+1)/3;
inline int MOD(const int&x){return x>=mod?x-mod:x;}
inline int MOD(const int&x,const int&y){return 1ll*x*y%mod;}
int invs[maxn],jc[maxn],inv[maxn];
int ksm(const int&ba,const int&p){
    int ret=1;
    for(int t=p,b=ba;t;t>>=1,b=MOD(b,b))
        if(t&1) ret=MOD(ret,b);
    return ret;
}
void NTT(int*a,const int&len,const int&tag){
    static int r[maxn];
    for(int t=1;t<len;++t)
        if((r[t]=r[t>>1]>>1|(t&1?len>>1:0))>t)
            swap(a[t],a[r[t]]);
    for(int t=1,s=tag==1?g:gi,wn;t<len;t<<=1){
        wn=ksm(s,(mod-1)/(t<<1));
        for(int i=0;i<len;i+=t<<1)
            for(int j=0,w=1,p;j<t;++j,w=MOD(w,wn))
                p=MOD(a[i+j+t],w),a[i+j+t]=MOD(a[i+j]-p+mod),a[i+j]=MOD(a[i+j]+p);
    }
    if(tag!=1)
        for(int t=0,i=mod-(mod-1)/len;t<len;++t)
            a[t]=MOD(a[t],i);
}
void Deri(int*a,const int&len){
    for(int t=0;t<len-1;++t) a[t]=MOD(a[t+1],t+1);
    a[len-1]=0;
}
void Inter(int*a,int*b,const int&len){
    for(int t=len-1;t;--t) b[t]=MOD(a[t-1],invs[t]);
    b[0]=0;
}
void INV(int*a,int*b,const int&len){
    if(len==1) return b[0]=ksm(a[0],mod-2),void();
    INV(a,b,len>>1);
    static int A[maxn],B[maxn];
    memset(A,0,len<<3); memset(B,0,len<<3);
    memcpy(A,a,len<<2); memcpy(B,b,len<<2);
    NTT(A,len<<1,1); NTT(B,len<<1,1);
    for(int t=0;t<len<<1;++t) A[t]=MOD(B[t],MOD(A[t],B[t]));
    NTT(A,len<<1,0);
    for(int t=0;t<len;++t) b[t]=MOD(MOD(b[t]+b[t])-A[t]+mod);
}

void LN(int*a,int*b,const int&len){
    static int A[maxn],B[maxn];
    memset(A,0,len<<3); memset(B,0,len<<3);
    memcpy(A,a,len<<2);
    INV(A,B,len); Deri(A,len);
    NTT(A,len<<1,1); NTT(B,len<<1,1);
    for(int t=0;t<len<<1;++t) A[t]=MOD(A[t],B[t]);
    NTT(A,len<<1,0);
    Inter(A,b,len);
}

void EXP(int*a,int*b,const int&len){
    if(len==1){b[0]=1;return;}
    EXP(a,b,len>>1);
    static int A[maxn],B[maxn];
    memset(A,0,len<<3); memset(B,0,len<<3);
    memcpy(A,b,len<<1); LN(b,B,len);
    for(int t=0;t<len;++t) B[t]=MOD(a[t]-B[t]+mod);
    ++B[0];
    NTT(A,len<<1,1); NTT(B,len<<1,1);
    for(int t=0;t<len<<1;++t) A[t]=MOD(A[t],B[t]);
    NTT(A,len<<1,0);
    for(int t=0;t<len;++t) b[t]=A[t];
}

void POW(int*a,int*b,const int&len,const int&k){
    static int A[maxn],B[maxn];
    memset(A,0,len<<3); memcpy(A,a,len<<2);
    memset(B,0,len<<3);
    LN(A,A,len);
    for(int t=0;t<len;++t) A[t]=MOD(A[t],k);
    EXP(A,B,len);
    memcpy(b,B,len<<2);
}

void pre(const int&n){
    jc[0]=invs[1]=inv[0]=1;
    for(int t=1;t<=n;++t) jc[t]=MOD(jc[t-1],t);
    for(int t=2;t<=n;++t) invs[t]=MOD(mod-mod/t,invs[mod%t]);
    for(int t=1;t<=n;++t) inv[t]=MOD(inv[t-1],invs[t]);
    //for(int t=0;t<=n;++t) if(MOD(jc[t],inv[t])!=1) puts("wa"),cerr<<"t="<<t<<endl;
}

int c(const int&n,const int&m){
    if(n<m) return 0;
    return MOD(jc[n],MOD(inv[m],inv[n-m]));
}

int main(){
    pre(maxn-1);
#ifdef debug
    static int test[maxn],tesv[maxn];
    for(int t=0;t<4;++t) test[t]=t+1;
    NTT(test,8,1);
    NTT(test,8,0);
    for(int t=0;t<16;++t) fprintf(stderr,"%d%c",test[t]," \n"[t==15]);
    INV(test,tesv,4);
    NTT(test,8,1); NTT(tesv,8,1);
    for(int t=0;t<8;++t) test[t]=MOD(test[t],tesv[t]);
    NTT(test,8,0);
    for(int t=0;t<8;++t) fprintf(stderr,"%d%c",test[t]," \n"[t==7]);
    for(int t=0;t<8;++t) test[t]=0;
    for(int t=0;t<4;++t) test[t]=t+1;
    Deri(test,4);
    for(int t=0;t<8;++t) fprintf(stderr,"%d%c",test[t]," \n"[t==7]);
    Inter(test,test,4);
    Deri(test,4);
    for(int t=0;t<8;++t) fprintf(stderr,"%d%c",test[t]," \n"[t==7]);
    for(int t=0;t<8;++t) test[t]=0;
    for(int t=0;t<4;++t) test[t]=t+1;
    POW(test,test,8,2);
    for(int t=0;t<8;++t) fprintf(stderr,"%d%c",test[t]," \n"[t==7]);
#endif
    int T=qr();
    while(T--){
        int n=qr(),k=qr();
        if(k!=1){
            static int a[maxn];
            int len=1;
            while(len<=n) len<<=1;
            memset(a,0,len<<2);
            for(int t=0;t<=n;++t) a[t]=MOD(inv[t],ksm(t+1,k));
            POW(a,a,len,n);
            //cerr<<"a[n-2]="<<a[n-2]<<endl;
            int ans=MOD(MOD(a[n-2],jc[n-2]),ksm(ksm(n,n-2),mod-2));
            printf("%d\n",ans);
        }else{
            int ans=0;
            for(int t=0;t<=n-2;++t)
                ans=MOD(ans+MOD(c(n,t),MOD(ksm(n,n-2-t),inv[n-2-t])));
            ans=MOD(ans,MOD(jc[n-2],ksm(ksm(n,n-2),mod-2)));
            printf("%d\n",ans);
        }
    }
    return 0;
}

原文地址：https://www.cnblogs.com/winlere/p/12244077.html