薛XX后代的IQ CSU1597【循环节】或【快速幂】

薛先生想改变后代的IQ，为此他发明了一种药，这种药有三种属性：A, B,
P。他父亲的智商为X，薛先生的智商为Y，用了这种药之后，薛先生的孩子的智商就可以变为(AX+BY) mod P。后代的智商以此类推。

现在给定X和Y，还有药的属性A、B和P，现在他想知道他的N代子孙的IQ（儿子是第一代，孙子是第二代）。

Input
第一行包含一个整数T（T<=100），表示数据组数 每组数据只有一行，包含六个整数X,Y,A,B,P,N（1 ≤ X, Y ≤ 300,1 ≤ A, B ≤ 30, 1≤ P ≤ 300 , 1 ≤ N < 1000000000），含义如题目所述
Output
针对每组数据，输出第N代子孙的智商。

Sample Input

4
180 80 1 1 190 1 
189 83 2 2 190 1 
189 83 1 1 190 2 
172 73 23 19 273 9999

Sample Output

70 
164 
165 
233

【思路】
本题有两种解法：

1. 循环节
   由题显然可以看出，P在1-300之间，则结果一定会在1-90000之间出现循环节，注意是连续的两组数据要同时和之前出现的一组数据相同，才被确认为出现了循环节。另外，循环节不一定是从0,1开始，可能呈6字形，也即从数据的中间开始出现循环，八戒影院这种情况一定要考虑。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;
const int maxn = 90009;
int ans[maxn+2];
int vis[303][303];

int main()
{
    int t;
    scanf("%d", &t);
    int x, y, a, b, p, n;
    while(t--){
        memset(vis, -1, sizeof(vis));
        scanf("%d%d%d%d%d%d", &x, &y, &a, &b, &p, &n);
        ans[0] = y;
        ans[1] = (a * x + b * y) % p;
        vis[ans[0]][ans[1]] = 0;
        int start;
        int circle;
        for(int i = 2; i < maxn; i++){
            ans[i] = (a * ans[i-2] + b * ans[i-1]) % p;
            if(vis[ans[i-1]][ans[i]] != -1){
                start = vis[ans[i-1]][ans[i]];
                circle = i - 1 - start;
                break;
            }
            else
                vis[ans[i-1]][ans[i]] = i-1;
        }
        cout << ans[start + (n - start) % circle] << endl;
    }
    return 0;
}

1. 快速幂
   这种类似斐波那契的数据类型，可以用快速幂来解决。要注意的是初始矩阵的初始化不能出错。然后再写一个矩乘函数就行了。

代码如下：

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<string>
#include<set>
using namespace std;
typedef long long LL;
int mod;
int x, y, p, q;
struct Node{LL m[3][3];};

void Init(Node &t, Node &a){
    t.m[1][1] = y;
    t.m[2][2] = 0;
    t.m[1][2] = x;
    t.m[2][1] = 0;
    a.m[1][1] = q;
    a.m[1][2] = 1;
    a.m[2][1] = p;
    a.m[2][2] = 0;
}

Node mul(Node a, Node b){
    Node tem;
    tem.m[1][1] = (a.m[1][1] * b.m[1][1] + a.m[1][2] * b.m[2][1]) % mod;
    tem.m[1][2] = (a.m[1][1] * b.m[1][2] + a.m[1][2] * b.m[2][2]) % mod;
    tem.m[2][1] = (a.m[2][1] * b.m[1][1] + a.m[2][2] * b.m[2][1]) % mod;
    tem.m[2][2] = (a.m[2][1] * b.m[1][2] + a.m[2][2] * b.m[2][2]) % mod;
    return tem;
}

int main (){
    int n;
    int tim;
    scanf("%d", &tim);
    Node t, a;
    while(tim--){
        scanf("%d%d%d%d%d%d",www.rcsx.org &x, &y, &p, &q, &mod, &n);
        Init(t, a);
        while(n){
            if(n&1) t = mul(t,a);
            a = mul(a, a);
            n >>= 1;
        }
        cout << t.m[1][1] % mod << endl;
    }

    return 0;
}