青蛙的约会 POJ1061(拓展欧几里得)

两只青蛙在网上相识了,它们聊得很开心,于是觉得很有必要见一面。它们很高兴地发现它们住在同一条纬度线上,于是它们约定各自朝西跳,直到碰面为止。可是它们出发之前忘记了一件很重要的事情,既没有问清楚对方的特征,也没有约定见面的具体位置。不过青蛙们都是很乐观的,它们觉得只要一直朝着某个方向跳下去,总能碰到对方的。但是除非这两只青蛙在同一时间跳到同一点上,不然是永远都不可能碰面的。为了帮助这两只乐观的青蛙,你被要求写一个程序来判断这两只青蛙是否能够碰面,会在什么时候碰面。 
我们把这两只青蛙分别叫做青蛙A和青蛙B,并且规定纬度线上东经0度处为原点,由东往西为正方向,单位长度1米,这样我们就得到了一条首尾相接的数轴。设青蛙A的出发点坐标是x,青蛙B的出发点坐标是y。青蛙A一次能跳m米,青蛙B一次能跳n米,两只青蛙跳一次所花费的时间相同。纬度线总长L米。现在要你求出它们跳了几次以后才会碰面。

Input

输入只包括一行5个整数x,y,m,n,L,其中x≠y < 2000000000,0 < m、n < 2000000000,0 < L < 2100000000。

Output

输出碰面所需要的跳跃次数,如果永远不可能碰面则输出一行"Impossible"

Sample Input

1 2 3 4 5

Sample Output

4

题解:

要求(a)               x+am≡y+an (mod L)即:          a(m?n)≡y?x (mod L)即:          a(m?n)+Lk=y?x用拓展欧几里得求           a(m?n)+Lk=gcd(m?n,L)令 d=gcd(m-n,L), c=y-x;若c%d!=0 则无解。解出a后,最终答案为:(a?c/d)mod(L/d)

证明:设要解的方程(求x)是:

        ax1+by1=c

而我们已经解得

        ax+by=gcd(a,b)=d

此时将第二个方程左右同时乘c/d,则可得:

        ax?c/d+by?c/d=c

所以:

        x1=x?c/d

这样并没有完,因为这只是一组解,我们要求最小正整数解。

我们知道:若一组 < x,y > 是ax+by=c的一组解,那么

        <x?b/d,y+a/d>

也是原方程的一组解。

这样我们只需要让解得的x不断减b/d,直到再减就为负数时,所得的x就是我们要的解。  
 其实这个过程就是模运算,所以最小正整数解就是:

       x1=(x?c/d)mod(b/d)

 1 #include<iostream>
 2 #include<cstdio>
 3 #include<cstring>
 4 using namespace std;
 5 typedef long long ll;
 6 ll x,y,m,n,l;
 7 ll ex_gcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y)//可以求出a,b和x,y的任意一组值
 8 {
 9     if(b==0)
10     {
11         x=1;
12         y=0;
13         return a;
14     }
15     ll q=ex_gcd(b,a%b,y,x);
16     y-=a/b*x;
17     return q;
18 }
19 int main()
20 {
21     while(~scanf("%lld%lld%lld%lld%lld",&x,&y,&m,&n,&l))
22     {
23         if(m==n)
24         {
25             printf("Impossible\n");
26             continue;
27         }
28         if(m<n)
29         {
30             ll t=m;
31             m=n;
32             n=t;
33             ll q=y;
34             y=x;
35             x=q;
36         }
37         ll c=y-x;
38         ll a,k;
39         ll d=ex_gcd(m-n,l,a,k);
40         if(c%d)
41             printf("Impossible\n");
42         else
43             printf("%lld\n",((a*c/d)%(l/d)+(l/d))%(l/d));
44     }
45 }

原文地址:https://www.cnblogs.com/1013star/p/9386688.html

时间: 2024-10-07 20:51:26

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