图论-树上启发式合并(DSU On Tree)

Disjoint Set Union On Tree ,似乎是来自 Codeforces 的一种新操作,似乎被叫做“树上启发式合并”。
不带修改的有根树子树信息统计问题中,似乎树上莫队和这个 DSU On Tree 是两类常规操作。
先对树按轻重链剖分。对于每个节点,先计算轻儿子为根的子树信息,每次计算后消除影响,再去计算其他轻儿子。然后计算重儿子为根的子树信息,不消除影响,并把轻儿子们为根的子树信息加入,再合并这个节点本身的信息。由于一个大小 \(x\) 的子树被消除影响后,都把信息合并到了一个大于等于 \(2x+1\) 的子树,如此递归下去,它显然至多被消除影响 \(log\ n\) 次。利用轻重链剖分的思想,就把这个问题 \(O(n)\) 解决了(假设合并信息是 \(O(1)\) 的)。

一道求子树内众数(记在 ans 里)的题的代码:

#include <stdio.h>
#include <vector>

using namespace std;

const int _N = 160000;

vector<int> G[_N];
int hvs[_N], siz[_N], cnt[_N], A[_N], ans[_N], mx;

void connect(int p, int dad)
{
    siz[p] = 1;
    for (int i = G[p].size() - 1; i >= 0; --i) {
        int v = G[p][i];
        if (v == dad) continue;
        connect(v, p);
        siz[p] += siz[v];
        if (!hvs[p] || siz[hvs[p]] < siz[v]) hvs[p] = v;
    }
    return;
}

void clear(int p, int dad)
{
    --cnt[A[p]];
    for (int i = G[p].size() - 1; i >= 0; --i) {
        int v = G[p][i];
        if (v == dad) continue;
        clear(v, p);
    }
    return;
}

void insert(int p, int dad)
{
    mx = max(mx, ++cnt[A[p]]);
    for (int i = G[p].size() - 1; i >= 0; --i) {
        int v = G[p][i];
        if (v == dad) continue;
        insert(v, p);
    }
    return;
}

void dfs(int p, int dad)
{
    for (int i = G[p].size() - 1; i >= 0; --i) {
        int v = G[p][i];
        if (v == dad || v == hvs[p]) continue;
        dfs(v, p);
        clear(v, p);
        mx = 0;
    }
    if (hvs[p]) dfs(hvs[p], p);
    for (int i = G[p].size() - 1; i >= 0; --i) {
        int v = G[p][i];
        if (v == dad || v == hvs[p]) continue;
        insert(v, p);
    }
    ans[p] = mx = max(mx, ++cnt[A[p]]);
    return;
}

int main()
{
    int N;
    scanf("%d", &N);
    for (int i = 1; i <= N; ++i)
        scanf("%d", &A[i]);
    for (int a, b, i = 1 ; i < N; ++i) {
        scanf("%d%d", &a, &b);
        G[a].push_back(b), G[b].push_back(a);
    }
    connect(1, 0);
    dfs(1, 0);
    for (int i = 1; i <= N; ++i)
        printf("%d ", siz[i] - ans[i]);
    return 0;
}

CF 上原博客 [Tutorial] Sack (dsu on tree)
模板题 CF600E 子树众数统计

原文地址:https://www.cnblogs.com/ghcred/p/9544170.html

时间: 2024-10-12 20:24:32

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树上启发式合并 (dsu on tree)

这个故事告诉我们,在做一个辣鸡出题人的比赛之前,最好先看看他发明了什么新姿势= =居然直接出了道裸题 参考链接: http://codeforces.com/blog/entry/44351(原文) http://blog.csdn.net/QAQ__QAQ/article/details/53455462 这种技巧可以在O(nlogn)的时间内解决绝大多数的无修改子树询问问题. 例1 子树颜色统计 有一棵n个点的有根树,根为1,每个点有一个1~n的颜色,对于每一个点给了一个数k,要询问这个子树

CodeForces 375D. Tree and Queries【树上启发式合并】

传送门 题意 给出一棵 \(n\) 个结点的树,每个结点有一个颜色 \(c_i\) . 询问 \(q\) 次,每次询问以 \(v\) 结点为根的子树中,出现次数 \(\ge k\) 的颜色有多少种.树的根节点是 \(1\). 题解 反正我看见这个 \(\ge k\) 就觉得要用线段树,实际上好像不用写线段树的 Orz. 还是树上启发式合并,记录每种颜色出现的次数,然后线段树记录某种次数有多少颜色,更改就在线段树上改. 这是最后一道树上启发式合并的例题了,以后遇到再刷. #include <bit

【基本操作】树上启发式合并の详解

树上启发式合并是某些神仙题目的常见操作. 这里有一个讲得详细一点的,不过为了深刻记忆,我还是再给自己讲一遍吧! DSU(Disjoint Set Union),别看英文名挺高级,其实它就是并查集…… DSU on tree,也就是树上的启发式合并(众所周知,并查集最重要的优化就是启发式合并). 然后咱们来考虑一个基础题:给出一棵树,每个节点有颜色,询问一些子树中不同的颜色数量(颜色可重复).祖传数据($100000$). 当然,这道题可以被各种方法切,比如带修莫队(做法自行百度). 但莫队的时空

树上启发式合并入门

前言 树上启发式合并,即\(DSU\ on\ Tree\),是一个挺好用.挺实用的树上信息维护方法. 由于它比较简单,容易理解,因此这里也就简单记录一下吧. 前置知识:重儿子 什么是重儿子? 这应该是树链剖分中的一个概念吧.重儿子就是某个节点的子节点中,子树大小最大的节点. 适用情况 你可以很方便地给每个点染上白色和黑色,且你需要对于每个点都分别得到其子树内节点为黑.子树外节点为白的局面. 具体实现 这是一个比较贪心的过程. 考虑\(dfs\)遍历时,对于当前点的每个儿子,除最后操作的儿子以外,

“优美的暴力”——树上启发式合并

今天介绍一个神仙算法:Dsu On Tree[ 树上启发式合并 ] 这个算法用于离线处理询问子树信息,而且很好写. 但是在你没有理解它之前,这是个很鬼畜的算法. 理解后你才能真心感到它的美妙之处. 关键是它是有着媲美线段树合并的时间复杂度的“暴力”算法. 这里说一件事,我学这个东西时找了很多篇博客,它们无一例外地给出了这样一个流程: 1. 先统计一个节点所有的轻儿子 然后删除它的答案2. 再统计这个节点的重儿子 保留他的答案3. 再算一遍所有轻儿子 加到答案中上传 我当时就看的很懵逼,算一遍所有

CodeForces 600E. Lomsat gelral【树上启发式合并】

传送门 好像大家都是拿这道题作为树上启发式合并的板子题. 树上启发式合并,英文是 dsu on tree,感觉还是中文的说法更准确,因为这个算法和并查集(dsu)没有任何关系.一般用来求解有根树的所有子树的统计问题. 根据轻重儿子的各种性质,可以证明这个算法的时间复杂度为 \(O(nlogn)\),虽然看起来暴力的不行,但是却是一个很高效的算法. 算法的核心其实就是对于每个节点,先计算轻儿子,再计算重儿子,把自己和轻儿子的所有贡献累计到重儿子上去,如果自己是轻儿子,就把贡献清空. 如果掌握了树链

【CF600E】Lomsat gelral——树上启发式合并

(题面来自luogu) 题意翻译 一棵树有n个结点,每个结点都是一种颜色,每个颜色有一个编号,求树中每个子树的最多的颜色编号的和. ci <= n <= 1e5 树上启发式合并裸题.统计时先扫一遍得到出现次数最大值,然后再扫一遍看哪个颜色的出现次数与mxCnt相等.注意用一个bool数组判重,清空轻儿子贡献时要顺手把bool数组也打成false. 代码: #include <iostream> #include <cstdio> #include <cctype&

CF 600E 树上启发式合并

DUS on tree 难得都不会,会的都是板子,可悲,可悲 题意:略 先想一个O(n^2)的写法,然后想办法去掉重复计算.究竟哪里重复 了呢? 假设p是x的儿子,p有很多个.每次计算答案的时候,如果“重儿子”(子孙最多的p)的答案可以直接用的话, 就可以省去很多的重复计算,这就是书上启发式合并   DUS ON TREE写法类似板子(恕我无知,没见过其他整法) #include<cstdio> #include<vector> #include<algorithm>

dsu on tree(树上启发式合并)

简介 对于一颗静态树,O(nlogn)时间内处理子树的统计问题.是一种优雅的暴力. 算法思想 很显然,朴素做法下,对于每颗子树对其进行统计的时间复杂度是平方级别的.考虑对树进行一个重链剖分.虽然都基于重链剖分,但不同于树剖,我们维护的不是树链. 对于每个节点,我们先处理其轻儿子所在子树,轻子树在处理完后消除其影响.然后处理重儿子所在子树,保留其贡献.然后再暴力跑该点的轻子树,统计该点子树的最终答案.如果该点子树是轻子树,则消除该子树的影响,否则保留.用代码描述的话,大概是这个流程: void d