引子
最近自己的独立游戏上线了,算是了却了一桩心愿。接下来还是想找一份工作继续干,创业的事有缘再说。
找工作之前,总是要浏览一些实战题目,热热身嘛。通过搜索引擎,搜到了今日头条的一道面试题。
题目
P为给定的二维平面整数点集。定义 P 中某点x,如果x满足 P 中任意点都不在 x 的右上方区域内(横纵坐标都大于x),则称其为“最大的”。求出所有“最大的”点的集合。(所有点的横坐标和纵坐标都不重复, 坐标轴范围在[0, 1e9) 内)
如下图:实心点为满足条件的点的集合。请实现代码找到集合 P 中的所有 ”最大“ 点的集合并输出。
输入描述:
第一行输入点集的个数 N, 接下来 N 行,每行两个数字代表点的 X 轴和 Y 轴。
输出描述:
输出“最大的” 点集合, 按照 X 轴从小到大的方式输出,每行两个数字分别代表点的 X 轴和 Y轴。
输入例子1:
5 1 2 5 3 4 6 7 5 9 0
输出例子1:
4 6 7 5 9 0
思路
1.暴力搜索法
先取一点,然后和其他所有点比较,看看是否有点在其右上方,没有则证明该点是“最大点”。重复检测所有的点。显而易见,算法的复杂度为O(n2)
2.变治法(预排序)
由“最大点”的性质可知,对于每一个“最大点”,若存在其他点的y值大于该点y值,那么其他点x值必然小于该点的x值。
换言之,当某一点确定它的x值高于所有y值大于它的点的x值,那么该点就是“最大点” 。网上给出的答案基本上都是这个套路。
对于y有序的点集,只需要O(n)即可输出“最大点”点集。一般基于比较的排序算法时间复杂度O(nlogn)。那么,显而易见,算法整体复杂度为O(nlogn)。
3.变治法(过滤+预排序)
过滤很简单,就是在集合中找出一个比较好的点,然后过滤掉其左下角的所有点。然后再采用方法2对过滤后的点集求解。
那么这个集合中比较好的点,怎么找,或者说哪个点是比较好的点。显而易见,越靠近点集右上角的点,左下角的面积就越大,越可以过滤更多的点,故越好。
儿时学过,两个数的和一定,那么两数差越小,乘积越大。简单设计,该点x和y的和减去x和y差的绝对值越大,该点越好。
对比实现
#include<iostream> #include<algorithm> #include<vector> #include <cstdlib> #include <ctime> using namespace std; struct point{ //定义结构体 int x,y; }; bool cmp(point a,point b){ //自定义排序方法 return a.y==b.y?a.x>b.x:a.y<b.y; //y升序,x降序 } int main(){ clock_t start,finish; double totaltime; std::srand(std::time(nullptr)); // use current time as seed for random generator int count; cout<<"输入点的个数和点:" ; cin>>count; vector<point> p; //容器用来装平面上的点 for(int i=0;i<count;i++){ point temp; temp.x = std::rand()% 100000000; temp.y = std::rand()% 100000000; p.push_back(temp); //为了方便对比性能,我们随机插入大量点 } start = clock(); vector<point> filter;//定义过滤容器 vector<point> res; //定义结果容器 int curMaxRank = 0; int curMaxIndex = 0; for(int i=0;i<count;i++){ int temp =p[i].x+p[i].y-std::abs(p[i].x-p[i].y); if(temp > curMaxRank) { curMaxRank = temp; curMaxIndex = i; } } for(int i=0;i<count;i++) { if(p[i].x >= p[curMaxIndex].x || p[i].y>= p[curMaxIndex].y) { filter.push_back(p[i]); } } sort(filter.begin(),filter.end(),cmp); res.push_back(filter[filter.size()-1]); //左上角的那个点,一定符合条件 int maxx=filter[filter.size()-1].x; for(int i=filter.size()-2;i>=0;i--){ //y从大到小,若i点x值大于所有比其y值大的点的x值,那么i点为“最大点”。 if(filter[i].x>maxx){ res.push_back(filter[i]); maxx=filter[i].x; } } finish = clock(); cout<<"过滤后点数量:"<<filter.size()<<endl; cout<<"符合条件的点数量:"<<res.size()<<endl; for(int i=0;i<res.size();i++){ printf("%d %d\n", res[i].x, res[i].y); } totaltime=(double)(finish-start)/CLOCKS_PER_SEC; cout<<"\n此程序的运行时间为"<<totaltime<<"秒!"<<endl; cout<<"------------------------------------------------"<<endl; start = clock(); sort(p.begin(),p.end(),cmp); res.clear(); res.push_back(p[p.size()-1]); //左上角的那个点,一定符合条件 int maxX=p[p.size()-1].x; for(int i=p.size()-2;i>=0;i--){ //y从大到小,若i点x值大于所有比其y值大的点的x值,那么i点为“最大点”。 if(p[i].x>maxX){ res.push_back(p[i]); maxX=p[i].x; } } finish = clock(); cout<<"符合条件的点数量:"<<res.size()<<endl; for(int i=0;i<res.size();i++){ printf("%d %d\n", res[i].x, res[i].y); } totaltime=(double)(finish-start)/CLOCKS_PER_SEC; cout<<"\n此程序的运行时间为"<<totaltime<<"秒!"<<endl; return 0; }
实际实验数据,输入点数为500000 过滤后点数量:210 符合条件的点数量:13 27952428 99999996 37918705 99999707 91085697 99998621 91655748 99997454 92150806 99996701 93153071 99993113 98057931 99989335 98932694 99986718 99589255 99982487 99986370 99972489 99998853 98880028 99999099 96104043 99999964 57986619 此程序的运行时间为0.020495秒! ------------------------------------------------ 符合条件的点数量:13 27952428 99999996 37918705 99999707 91085697 99998621 91655748 99997454 92150806 99996701 93153071 99993113 98057931 99989335 98932694 99986718 99589255 99982487 99986370 99972489 99998853 98880028 99999099 96104043 99999964 57986619 此程序的运行时间为0.309453秒!
总结与展望
对于随机点进行大量测试,发现存在笔者给出的过滤方法,平均可以过滤99.9%的点。也就是说过滤后所剩点m的数量为原始点集n数量的千分之一。
使用过滤的额外好处是,我们只需要开辟千分之一的内存,然后就可以不改变原有点集的顺序,也就是说如果题目还有不改变原有点集的要求,依然可以满足 。
过滤付出的时间代价是线性的。那么算法的整体复杂度为O(n+ mlogm),而一般m值为n的千分之一。那么算法的平均复杂度为O(n),空间复杂度O(m)。通过上述代码实际对比,性能提高了大约20倍左右。
使用O(m)空间,可以确保不改变原有点集的顺序。 可不可以继续优化,可以可以,优化永无止境,只要别轻易放弃思考。
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