素数总是一个比较常涉及到的内容,掌握求素数的方法是一项基本功。
基本原则就是题目如果只需要判断少量数字是否为素数,直接枚举因子2 。。N^(0.5) ,看看能否整除N。
如果需要判断的次数较多,则先用下面介绍的办法预处理。
一般的线性筛法
首先先介绍一般的线性筛法求素数
void make_prime() { memset(prime, 1, sizeof(prime)); prime[0]=false; prime[1]=false; int N=31700; for (int i=2; i<N; i++) if (prime[i]) { primes[++cnt ]=i; for (int k=i*i; k<N; k+=i) prime[k]=false; } return; }
这种方法比较好理解,初始时,假设全部都是素数,当找到一个素数时,显然这个素数乘上另外一个数之后都是合数(注意上面的 i*i , 比 i*2 要快点 ),把这些合数都筛掉,即算法名字的由来。
但仔细分析能发现,这种方法会造成重复筛除合数,影响效率。比如10,在i=2的时候,k=2*15筛了一次;在i=5,k=5*6 的时候又筛了一次。所以,也就有了快速线性筛法。
快速线性筛法
快速线性筛法没有冗余,不会重复筛除一个数,所以“几乎”是线性的,虽然从代码上分析,时间复杂度并不是O(n)。先上代码
#include<iostream> using namespace std; const long N = 200000; long prime[N] = {0},num_prime = 0; int isNotPrime[N] = {1, 1}; int main() { for(long i = 2 ; i < N ; i ++) { if(! isNotPrime[i]) prime[num_prime ++]=i; //关键处1 for(long j = 0 ; j < num_prime && i * prime[j] < N ; j ++) { isNotPrime[i * prime[j]] = 1; if( !(i % prime[j] ) ) //关键处2 break; } } return 0; }
首先,先明确一个条件,任何合数都能表示成一系列素数的积。
不管 i 是否是素数,都会执行到“关键处1”,
①如果 i 都是是素数的话,那简单,一个大的素数 i 乘以不大于 i 的素数,这样筛除的数跟之前的是不会重复的。筛出的数都是 N=p1*p2的形式, p1,p2之间不相等
②如果 i 是合数,此时 i 可以表示成递增素数相乘 i=p1*p2*...*pn, pi都是素数(2<=i<=n), pi<=pj ( i<=j )
p1是最小的系数。
根据“关键处2”的定义,当p1==prime[j] 的时候,筛除就终止了,也就是说,只能筛出不大于p1的质数*i。
我们可以直观地举个例子。i=2*3*5
此时能筛除 2*i ,不能筛除 3*i
如果能筛除3*i 的话,当 i‘ 等于 i‘=3*3*5 时,筛除2*i‘ 就和前面重复了。
需要证明的东西:
- 一个数会不会被重复筛除。
- 合数肯定会被干掉。
根据上面红字的条件,现在分析一个数会不会被重复筛除。
设这个数为 x=p1*p2*...*pn, pi都是素数(1<=i<=n) , pi<=pj ( i<=j )
当 i = 2 时,就是上面①的情况,
当 i >2 时, 就是上面②的情况, 对于 i ,第一个能满足筛除 x 的数 y 必然为 y=p2*p3...*pn(p2可以与p1相等或不等),而且满足条件的 y 有且只有一个。所以不会重复删除。
证明合数肯定会被干掉? 用归纳法吧。
类比一个模型,比如说我们要找出 n 中2个不同的数的所有组合 { i , j } ,1<=i<=n, 1<=j<=n,
我们会这么写
for (i=1; i<n; ++i )
for (j=i+1; j<=n; ++j)
{
/////
}
我们取 j=i+1 便能保证组合不会重复。快速筛法大概也是这个道理,不过这里比较难理解,没那么直观。
1楼提供的方法,我整理下
//偶数显然不行,所以先去掉偶数。可以看作上面第一种的优化吧。
//不过这种方法不太直观,不太好理解。
我推荐这个算法! 易于理解。 只算奇数部分,时空效率都还不错! half=SIZE/2; int sn = (int) sqrt(SIZE); for (i = 0; i < half; i++) p[i] = true;// 初始化全部奇数为素数。p[0]对应3,即p[i]对应2*i+3 for (i = 0; i < sn; i++) { if(p[i])//如果 i+i+3 是素数 { for(k=i+i+3, j=k*i+k+i; j < half; j+=k) // 筛法起点是 p[i]所对应素数的平方 k^2 // k^2在 p 中的位置是 k*i+k+i // 下标 i k*i+k+i //对应数值 k=i+i+3 k^2 p[j]=false; } } //素数都存放在 p 数组中,p[i]=true代表 i+i+2 是素数。 //举例,3是素数,按3*3,3*5,3*7...的次序筛选,因为只保存奇数,所以不用删3*4,3*6....