方法1：两遍最大流。一遍最大流后，把满流边容量+1，非满流边改为INF；再求最小割即为答案。
我大概想了下证明：能构成最小割的边在第一次跑最大流时都满流，然后按那样改变边容量再求一次最小割，就相当于再在那些 满流可能是属于最小割的边 中挑出最少的边形成ST割。
1 #include<cstdio>
2 #include<cstring>
3 #include<queue>
4 #include<algorithm>
5 using namespace std;
6 #define INF (1LL<<60)
7 #define MAXN 1111
8 #define MAXM 440000
9
10 struct Edge{
11 int v,next;
12 __int64 cap,flow;
13 }edge[MAXM];
14 int vs,vt,NE,NV;
15 int head[MAXN];
16
17 void addEdge(int u,int v,__int64 cap){
18 edge[NE].v=v; edge[NE].cap=cap; edge[NE].flow=0;
19 edge[NE].next=head[u]; head[u]=NE++;
20 edge[NE].v=u; edge[NE].cap=0; edge[NE].flow=0;
21 edge[NE].next=head[v]; head[v]=NE++;
22 }
23
24 int level[MAXN];
25 int gap[MAXN];
26 void bfs(){
27 memset(level,-1,sizeof(level));
28 memset(gap,0,sizeof(gap));
29 level[vt]=0;
30 gap[level[vt]]++;
31 queue<int> que;
32 que.push(vt);
33 while(!que.empty()){
34 int u=que.front(); que.pop();
35 for(int i=head[u]; i!=-1; i=edge[i].next){
36 int v=edge[i].v;
37 if(level[v]!=-1) continue;
38 level[v]=level[u]+1;
39 gap[level[v]]++;
40 que.push(v);
41 }
42 }
43 }
44
45 int pre[MAXN];
46 int cur[MAXN];
47 __int64 ISAP(){
48 bfs();
49 memset(pre,-1,sizeof(pre));
50 memcpy(cur,head,sizeof(head));
51 int u=pre[vs]=vs;
52 __int64 flow=0,aug=INF;
53 gap[0]=NV;
54 while(level[vs]<NV){
55 bool flag=false;
56 for(int &i=cur[u]; i!=-1; i=edge[i].next){
57 int v=edge[i].v;
58 if(edge[i].cap!=edge[i].flow && level[u]==level[v]+1){
59 flag=true;
60 pre[v]=u;
61 u=v;
62 //aug=(aug==-1?edge[i].cap:min(aug,edge[i].cap));
63 aug=min(aug,edge[i].cap-edge[i].flow);
64 if(v==vt){
65 flow+=aug;
66 for(u=pre[v]; v!=vs; v=u,u=pre[u]){
67 edge[cur[u]].flow+=aug;
68 edge[cur[u]^1].flow-=aug;
69 }
70 //aug=-1;
71 aug=INF;
72 }
73 break;
74 }
75 }
76 if(flag) continue;
77 int minlevel=NV;
78 for(int i=head[u]; i!=-1; i=edge[i].next){
79 int v=edge[i].v;
80 if(edge[i].cap!=edge[i].flow && level[v]<minlevel){
81 minlevel=level[v];
82 cur[u]=i;
83 }
84 }
85 if(--gap[level[u]]==0) break;
86 level[u]=minlevel+1;
87 gap[level[u]]++;
88 u=pre[u];
89 }
90 return flow;
91 }
92 int main(){
93 int t,n,m,a,b,c,d;
94 scanf("%d",&t);
95 for(int cse=1; cse<=t; ++cse){
96 scanf("%d%d",&n,&m);
97 vs=0; vt=n-1; NV=n; NE=0;
98 memset(head,-1,sizeof(head));
99 while(m--){
100 scanf("%d%d%d%d",&a,&b,&c,&d);
101 if(d){
102 addEdge(a,b,c);
103 addEdge(b,a,c);
104 }else{
105 addEdge(a,b,c);
106 }
107 }
108 ISAP();
109 for(int i=0; i<NE; i+=2){
110 if(edge[i].flow==edge[i].cap) ++edge[i].cap;
111 else edge[i].cap=INF;
112 }
113 printf("Case %d: %I64d\n",cse,ISAP());
114 }
115 return 0;
116 }
方法2：放大边权。把每条边的容量cap改为cap*m+1，m为一个够大的数（总边数+1就够了）。最后跑一遍最大流，最小割为maxflow/m，最少边数为maxflow%m。
我大概想了下证明：原图流量能满的，新图流量肯定也能达到cap*m，因为可以把新图看成是m张原图。而流量达到cap*m的边还剩1这个容量还没用到（流量达不到cap*m自然就用不到这个1容量了），那么就相当于在这些边的基础上再跑一遍最大流，与方法1差不多的道理。
1 #include<cstdio>
2 #include<cstring>
3 #include<queue>
4 #include<algorithm>
5 using namespace std;
6 #define INF (1LL<<60)
7 #define MAXN 1111
8 #define MAXM 440000
9
10 struct Edge{
11 int v,next;
12 __int64 cap,flow;
13 }edge[MAXM];
14 int vs,vt,NE,NV;
15 int head[MAXN];
16
17 void addEdge(int u,int v,__int64 cap){
18 edge[NE].v=v; edge[NE].cap=cap; edge[NE].flow=0;
19 edge[NE].next=head[u]; head[u]=NE++;
20 edge[NE].v=u; edge[NE].cap=0; edge[NE].flow=0;
21 edge[NE].next=head[v]; head[v]=NE++;
22 }
23
24 int level[MAXN];
25 int gap[MAXN];
26 void bfs(){
27 memset(level,-1,sizeof(level));
28 memset(gap,0,sizeof(gap));
29 level[vt]=0;
30 gap[level[vt]]++;
31 queue<int> que;
32 que.push(vt);
33 while(!que.empty()){
34 int u=que.front(); que.pop();
35 for(int i=head[u]; i!=-1; i=edge[i].next){
36 int v=edge[i].v;
37 if(level[v]!=-1) continue;
38 level[v]=level[u]+1;
39 gap[level[v]]++;
40 que.push(v);
41 }
42 }
43 }
44
45 int pre[MAXN];
46 int cur[MAXN];
47 __int64 ISAP(){
48 bfs();
49 memset(pre,-1,sizeof(pre));
50 memcpy(cur,head,sizeof(head));
51 int u=pre[vs]=vs;
52 __int64 flow=0,aug=INF;
53 gap[0]=NV;
54 while(level[vs]<NV){
55 bool flag=false;
56 for(int &i=cur[u]; i!=-1; i=edge[i].next){
57 int v=edge[i].v;
58 if(edge[i].cap!=edge[i].flow && level[u]==level[v]+1){
59 flag=true;
60 pre[v]=u;
61 u=v;
62 //aug=(aug==-1?edge[i].cap:min(aug,edge[i].cap));
63 aug=min(aug,edge[i].cap-edge[i].flow);
64 if(v==vt){
65 flow+=aug;
66 for(u=pre[v]; v!=vs; v=u,u=pre[u]){
67 edge[cur[u]].flow+=aug;
68 edge[cur[u]^1].flow-=aug;
69 }
70 //aug=-1;
71 aug=INF;
72 }
73 break;
74 }
75 }
76 if(flag) continue;
77 int minlevel=NV;
78 for(int i=head[u]; i!=-1; i=edge[i].next){
79 int v=edge[i].v;
80 if(edge[i].cap!=edge[i].flow && level[v]<minlevel){
81 minlevel=level[v];
82 cur[u]=i;
83 }
84 }
85 if(--gap[level[u]]==0) break;
86 level[u]=minlevel+1;
87 gap[level[u]]++;
88 u=pre[u];
89 }
90 return flow;
91 }
92 int main(){
93 int t,n,m,a,b,c,d;
94 scanf("%d",&t);
95 for(int cse=1; cse<=t; ++cse){
96 scanf("%d%d",&n,&m);
97 vs=0; vt=n-1; NV=n; NE=0;
98 memset(head,-1,sizeof(head));
99 __int64 x=m<<1|1;
100 while(m--){
101 scanf("%d%d%d%d",&a,&b,&c,&d);
102 if(d){
103 addEdge(a,b,c*x+1);
104 addEdge(b,a,c*x+1);
105 }else{
106 addEdge(a,b,c*x+1);
107 }
108 }
109 printf("Case %d: %I64d\n",cse,ISAP()%x);
110 }
111 return 0;
112 }
时间： 2024-10-17 13:16:32