算法-背包问题 VI(动态规划)

今天做了一道背包问题的变种问题，这个问题还是用动态规划来做，但是做法上跟原来的背包问题有很大的区别。

题意：

给出一个都是正整数的数组 nums，其中没有重复的数。从中找出所有的和为
 target 的组合个数。

样例：

给出 nums = [1, 2, 4], target = 4
可能的所有组合有：

[1, 1, 1, 1]
[1, 1, 2]
[1, 2, 1]
[2, 1, 1]
[2, 2]
[4]

返回 6

1.最简单的方法--深搜(超时)

看到这种问题,特别是要求我们将所有的情况计算出来，我们首先想到的是就是深搜。这个题用深搜做时非常的简单，但是不可避免的就是超时。

代码：

 1     private static int count = 0;
 2
 3     public static int backPackVI(int[] nums, int target) {
 4         dfs(nums, new int[target], 0, 0, target);
 5         return count;
 6     }
 7     /**
 8      *
 9      * @param nums  原来的数组
10      * @param select  选择的数字组成的数组，为什么它的长度为target，那么因为要想和等于target，最长的情况是全部是1
11      * 所以最长为target
12      * @param i  记录开始填充select数组里面的第i个位置了
13      * @param sum  //select数组的和
14      * @param target  //目标值
15      */
16     private static void dfs(int nums[], int select[], int i, int sum, int target) {
17         if (sum == target) {
18             count++;
19         } else {
20             //这里一定要记住i必须小于select的长度
21             for (int j = 0; j < nums.length && i < select.length; j++) {
22                 if (sum + nums[j] <= target) {
23                     select[i] = nums[j];
24                     dfs(nums, select, i + 1, sum + nums[j], target);
25                 }
26
27             }
28         }
29     }

2.动态规划

动态规划第一步的操作就是填表，所以，我们要想推导出动态规划的方程，必须先填表(填表的假设条件的设置尤为重要)。如图所示：

代码：

 1     public static int backPackVI(int[] nums, int target) {
 2         //dp数组，用来记录在每一种情况下，不同数字装的所有情况个数
 3         int dp[][] = new int[target + 1][nums.length];
 4         //不同target下，所有情况的个数
 5         int b[]  = new int[target+ 1];
 6         for(int i = 0; i < dp.length; i++){
 7             Arrays.fill(dp[i], 0);
 8         }
 9         Arrays.fill(b, 0);
10         for(int i = 1; i < dp.length; i++)
11         {
12             for(int j = 0; j < nums.length; j++){
13                 //当当前的数字大于当前的target，肯定不能装进去
14                 if(nums[j] > i){
15                     continue;
16                 }
17                 //dp方程
18                 dp[i][j] = b[i - nums[j]];
19                 //当当前的数字恰好等于target时，将dp的值更新，正确值应该为1，先前为0
20                 if(nums[j] == i){
21                     dp[i][j] = 1;
22                 }
23             }
24             //初始化一下b[i]，理论上可以不用初始化，为了保证正确性
25             b[i] = 0;
26             //更新b[i]的值
27             for(int j = 0; j < nums.length; j++){
28                 b[i] += dp[i][j];
29             }
30         }
31         int sum = 0;
32         for(int i = 0; i < nums.length; i++){
33             sum += dp[target][i];
34         }
35         return sum;
36     }