1. 微分的应用

1.1 一元函数的微分

1.1.1 单调性、极值、渐近线

　　导数给出了函数的走向，它对我们分析函数的图形性质很有作用，这里就用微分学的知识来了解函数的性质。一阶导数对函数的影响是最直接的，这里先看一阶导数。对于区间上的常值函数\(f(x)=C\)，它的导数处处为零，反之由中值定理知，导数恒为零的函数为常值，故函数在区间上\(f(x)=0\)的充要条件是\(f‘(x)=0\)。这个结论还说明了导数相同的函数的差函数为常数，这对在证明函数相等很有用，比如可以证明\(3\arccos{x}-\arccos{3x-4x^2}=\pi\)。

　　利用中值定理容易证明，区间上函数必定单调上升（下降）的充要条件是\(f‘(x)\geqslant 0\)（\(f‘(x)\leqslant 0\)）。当等号不成立时，函数还是严格单调上升（下降）的。在部分点等号成立时，利用反证法可知，只要等号不在一个区间恒成立，函数也是严格单调上升（下降）的。

　　我们已经知道，对任意函数\(f(x)\)，如果\(x_0\)是极值点，则有\(f‘(x_0)=0\)。反之则不一定（比如\(x^3\)的零点），使得\(f‘(x_0)=0\)的点\(x_0\)一般称为静止点。如果在\(x_0\)的领域内可导，则两侧的导数同号时为一般静止点，异号时为极值点（且根据具体情况可判定极大还是极小）。一般地，如果\(f‘(x_0)=f‘‘(x_0)=\cdots=f^{(n-1)}(x_0)=0\)，但\(f^{(n)}\ne 0\)，则由泰勒公式知式（1）成立。进而可以证明，\(n\)为奇数时\(x_0\)是一般静止点，\(n\)为偶数时，若\(f^{(n)}>0\)则\(x_0\)是极小点，若\(f^{(n)}<0\)则\(x_0\)是极大点。

\[f(x)=f(x_0)+\dfrac{1}{n!}f^{(n)}(x_0)(x-x_0)^n+o((x-x_0)^n)\tag{1}\]

　　有了以上结论，我们就能画出函数的大致曲线，只要弄清楚零点、单调性即可。另外有时还会有渐近线，它其实就是以下三种情况之一：（1）\(x\to x_0\)时\(f(x)\to\infty\)；（2）\(x\to\infty\)时\(f(x)\to y_0\)；（3）式（2）分别存在有限极限。前两个分别以\(x=x_0\)和\(y=y_0\)为渐近线，第三个以\(y=ax+b\)为渐近线。

\[\lim\limits_{x\to\infty}{\dfrac{f(x)}{x}}=a;\quad \lim\limits_{x\to\infty}{[f(x)-ax]}=b\tag{2}\]

1.1.2 凸函数

　　最后来看二阶导数在函数图形上的体现，导数可以看做是曲线的切线斜率，那么二阶导数则可刻画了斜率的变化。可以想象，当\(f‘‘(x)>0\)时函数曲线上凸，而当\(f‘‘(x)<0\)时函数曲线下凸。如何严格地表述这样的曲线？可以这样说，连接曲线上任意两点形成直线，这两点间的函数值都在直线一侧。受此启发，定义在任意点式（3）都成立的函数为下凸（上凸）函数，等号不成立时也叫严格下凸（上凸）函数。

\[f(tx_1+(1-t)x_2)\leqslant(\geqslant)tf(x_1)+(1-t)f(x_2),\quad(0<t<1)\tag{3}\]

　　以上凸函数的定义中并未假定函数可导，所以不好描述导数的性质，为此换做观察曲线上变化割线的性质。具体来讲，比如对下凸函数，设\(x_1<x_2<x_3\)，利用定义容易证明式（4）成立它们还可以作为凸函数的等价定义。右边的不等式说明任意点\(x_0\)右侧，\(\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\)随着\(x\to x_0\)单调减小，但左边的不等式又说明它是有下界的，从而\(x_0\)存在右极限（或极限为无穷）。同样可证\(x_0\)存在左极限（或极限为无穷），当然，如果\(x_0\)是端点，其中只有一个成立。当\(x_0\)是区间内点时，显然\(f(x)\)在\(x_0\)处连续。

\[\dfrac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}\leqslant\dfrac{f(x_3)-f(x_2)}{x_3-x_2};\quad\dfrac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}\leqslant\dfrac{f(x_3)-f(x_1)}{x_3-x_1}\tag{4}\]

　　其实凸函数不一定可导，比如\(V\)字形的\(f(x)=|x|\)是下凸函数，但在\(x_0\)不可导。当\(f(x)\)可导时，容易证明\(f(x)\)下凸（上凸）的充要条件是，\(f‘(x)\)单调上升（下降）。这个充要条件还等价于：曲线在它任何一条切线的上方。若\(f(x)\)二阶可导，还可以证明，\(f(x)\)下凸（上凸）的充要条件是\(f‘‘(x)\geqslant 0\)（\(f‘‘(x)\leqslant 0\)）。这些比较直观，证明也很简单，请自行论证。

　　上面的结论说明，如果\(f‘‘(x)\)连续且\(f‘‘(x_0)=0\)，而在领域内\(f‘‘(x)\ne 0\)，可见\(f(x)\)在\(x_0\)左右两侧分别为上、下凸函数，所以曲线在\(x_0\)左右领域内分别在\(x_0\)切线的两侧。更一般的，如果\(f(x)\)在\(x_0\)处可导，且左右领域的点分别落在切线的两侧，则称\(x_0\)为\(f(x)\)的拐点。

　　式（3）对二阶可导的凸函数还有进一步推广，设\(\sum\limits_{k=1}^n{p_k}=1,(p_k>0)\)，且记\(X=\sum\limits_{k=1}^n{x_k}\)。对下凸函数\(f(x)\)可有式（5）成立，\(n\)个式子乘上\(p_k\)相加便有式（6）成立。凸函数的这个结论，可以用来很容易地证明一些不等式，比如令\(f(x)=\ln{x},\,p_k=\dfrac{1}{n}\)，可以证明\(\prod x_k\leqslant \dfrac{1}{n}\sum x_k\)。

\[f(x_k)=f(X)+f‘(X)(x_k-X)+\frac{1}{2}f"(\xi)(x-X)^2\geqslant f(X)+f‘(X)(x_k-X)\tag{5}\]

\[\sum\limits_{k=1}^n{p_kf(x_k)}\geqslant f\left(\sum\limits_{k=1}^n{p_kx_k}\right)\tag{6}\]

1.2 多元函数的微分

1.2.1 切线、法平面

　　现在利用微分的方法复习空间的点线面，请先复习空间解析几何的基本内容。空间曲线的表达式，最简单的就是参数方程\(x=x(t),y=y(t),z=z(t)\)，一阶连续导数\((x‘(t),y‘(t),z‘(t))\)确定了曲线在\((x(t),y(t),z(t))\)处的切矢量\(\vec{T}\)，切线连续变化的曲线称为光滑曲线。曲线还有可能表示为两个曲面的交集（式（7）左），利用向量值函数隐函数的结论可得到切矢量\((1,y‘_x(x),z‘_x(x))\)，约去分母便得式（7）右。

\[\left\{\begin{matrix}F(x,y,z)=0\\G(x,y,z)=0\end{matrix}\right.\quad\Rightarrow\quad \vec{T}=\left(\,\dfrac{\partial(F,G)}{\partial(y,z)},\:\dfrac{\partial(F,G)}{\partial(z,x)},\:\dfrac{\partial(F,G)}{\partial(z,y)}\,\right)\tag{7}\]

　　现在来看空间的曲面\(F(x,y,z)=0\)，如果\(F‘_x,F‘_y,F_z\)都连续，它被称为光滑曲面。考察曲面上经过\((x_0,y_0,z_0)\)的任意曲线，带入曲面方程有\(F(x(t),y(t),z(t))=0\)，由曲面的可微性易知曲线光滑，对\(t\)求导得式（8）。该式表明所有曲线在\((x_0,y_0,z_0)\)处的切线在同一平面上，这个平面被称为曲面在点\((x_0,y_0,z_0)\)的法平面，它的法向量为\((F‘_x,F‘_y,F‘_z)\)所示。曲面还可能是用式（9）左边的参数方程表示的，用前两者可以确定隐函数\(u(x,y),v(x,y)\)。带入第三个式子就得到曲面表达式，算出法向量后约去分母便可导法向量（式（9）右）。

\[F‘_x(x_0,y_0,z_0)x‘_t(t_0)+F‘_y(x_0,y_0,z_0)y‘_t(t_0)+F‘_z(x_0,y_0,z_0)z‘_t(t_0)=0\tag{8}\]

\[\left\{\begin{matrix}x=x(u,v)\\y=y(u,v)\\z=z(u,v)\end{matrix}\right.\quad\Rightarrow\quad \vec{T}=\left(\,\dfrac{\partial(y,z)}{\partial(u,v)},\:\dfrac{\partial(z,x)}{\partial(u,v)},\:\dfrac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\,\right)\tag{9}\]

1.2.2 曲率

　　不知你有没有注意，平面曲线的二阶导数虽然表示斜率的变化速度，但由于斜率不与角度成正比，二阶导数其实并不能反映曲线的弯曲程度。要准确的度量曲线的弯曲程度，我们必须考察角度本身的变化率，具体讲就是在某点\(M_0\)切线角度\(\alpha\)相比长度\(s\)的变化率。如果式（10）的极限存在，则称\(k\)为点\(M_0\)的曲率，而\(\dfrac{1}{k}\)称为曲率半径。

\[k=\left|\dfrac{\text{d}\alpha}{\text{d}s}\right|=\left|\lim\limits_{\varDelta s\to 0}\dfrac{\varDelta\alpha}{\varDelta s}\right|\tag{10}\]

　　如果曲线以参数方程\(x(t),y(t)\)表示，首先有\(\text{d}s=\sqrt{{x‘_t}^2+{y‘_t}^2}\text{d}t\)，再由\(\alpha=\arctan{\dfrac{y‘_t}{x‘_t}}\)也容易得到\(\text{d}\alpha\)，从而容易有曲率的表达式（11），后者是坐标方程\(y=y(x)\)下的结果。对于极坐标方程\(r=r(\theta)\)，可以写成参数方程\(x=r(\theta)\cos{\theta},y=r(\theta)\sin{\theta}\)，带入式（11）可得式（12）。特别地，对于圆\(r=r_0\)，易知其曲率半径就是\(r_0\)。

\[k=\dfrac{|x‘_ty‘‘_{t^2}-x‘‘_{t^2}y‘_t|}{({x‘_t}^2+{y‘_t}^2)^{\frac{3}{2}}}=\dfrac{|y‘‘_{x^2}|}{(1+{y‘_x}^2)^{\frac{3}{2}}}\tag{11}\]

\[r=r(\theta)\quad\Rightarrow\quad k=\dfrac{|r^2+2{r‘_{\theta}}^2-rr‘‘_{\theta^2}|}{(r^2+{r‘_{\theta}}^2)^{\frac{3}{2}}}\tag{12}\]

1.2.3 极值

　　类似一元函数的结论，对于偏导数处处存在的函数\(f(x_1,\cdots,x_n)\)，如果\(f‘_{x_i}(x_{01},\cdots,x_{0n})=0\)皆成立，那么\(\vec{x}_0=(x_{01},\cdots,x_{0n})\)称为\(f\)的静止点。静止点什么时候是极值点？再假设\(f\)有连续的二阶偏微分，使用泰勒公式即得式（13）。如果记对称矩阵\(Q=\{a_{ij}=f‘‘_{x_ix_j}(\vec{x}_0)\}\)，则式（13）的值取决于\(Q\)关于\(\varDelta\vec{x}\)的二次型。二次型正定（负定），则静止点是极大点（极小点），否则就不确定。

\[\varDelta f(\vec{x}_0)=f(\vec{x})-f(\vec{x}_0)=\dfrac{1}{2}(\varDelta x_1\dfrac{\partial}{\partial x_1}+\cdots+\varDelta x_n\dfrac{\partial}{\partial x_n})^2f(\vec{x}_0+\theta\varDelta\vec{x})\tag{13}\]

　　上面的极值假定变量可以在一个领域内变化，但实际问题中往往还有限制条件。比如已知\(G_i(\vec{x})=0,\,(i=1,\cdots,m)\)，求\(F(\vec{x})\)的极值，这样的问题被称为条件极值。其实如果在局部\(\dfrac{\partial(G_1,\cdots,G_m)}{\partial(x_1,\cdots,x_m)}\ne 0\)，则根据\(G_i=0\)可以得到\(x_1,\cdots,x_m\)关于\(x_{m+1},\cdots,x_n\)的隐函数，将它们带入\(F(\vec{x})\)即将问题转化为无条件极值问题。

　　但很多时候，这样的隐函数无法直接写出，或者结果会破坏原本的对称性，从而使计算变得复杂。我们已经有了\(m\)个方程\(G_i=0\)，现在需要再找\((n-m)\)个“好”的方程。我们仍然以\(x_{m+1},\cdots,x_n\)为自变量考虑问题，由\(F\)的极值首先有\(\text{d}F=\sum\limits_{i=1}^nF‘_{x_i}\,\text{d}x_i=0\)，注意其中\(\text{d}x_i,\,(i=1,\cdots,m)\)为函数。如果能使等式中只有自变量\(x_{m+1},\cdots,x_n\)的微分，则微分系数都为\(0\)，这就得到了另外的\(n-m\)个方程。

　　可以同样对\(G_i\)求微分\(\text{d}G_i=\sum\limits_{i=1}^n{(G_i)}‘_{x_i}\,\text{d}x_i=0\)，由于\(\dfrac{\partial(G_1,\cdots,G_m)}{\partial(x_1,\cdots,x_m)}\ne 0\)，则可以选择参数\(\lambda_i,\,(i=1,\cdots,m)\)，使得\(\text{d}F+\sum\limits_{i=1}^m{\lambda_i\text{d}G_i}\)中\(\text{d}x_i,\,(i=1,\cdots,m)\)的系数为\(0\)。这时\(\text{d}x_i,\,(i=m+1,\cdots,n)\)的系数必定是零，它们就是要找的\(n-m\)个方程。

　　现在来总结一下需要解的方程，为方便讨论，把\(\lambda_i\)也看作是未知数，并记\(\varPhi\)为式（14）左。原先的\(m\)个方程\(G_i=0\)其实就是\(\varPhi‘_{\lambda_j}=0\)，求\(\lambda_i\)的\(m\)方程其实是\(\varPhi‘_{x_i}=0,\,(i=1,\cdots,m)\)，而最后的\(n-m\)个方程便是\(\varPhi‘_{x_i}=0,\,(i=m+1,\cdots,n)\)。这个方法称为拉格朗日乘数法，式（14）更便于记忆。但还要注意，我们求得的只是“静止点”，还需根据实际情况确定是否是极值。

\[\varPhi(\vec{x},\vec{\lambda})=F(\vec{x})+\sum\limits_{i=1}^m{\lambda_iG_i(\vec{x})}\quad\Rightarrow\quad\varPhi‘_{x_i}=0\;\wedge\;\varPhi‘_{\lambda_j}=0\tag{14}\]

2. 积分的应用

2.1 一元函数的积分

2.1.1 平面面积，体积

　　之前我们把定积分作为面积的一种定义，现在来看看这个定义的合理性，以及定积分更广泛的应用。首先我们来给出平面图形面积的一个直观定义，对于多边形，它们总可以分割为若干个三角形。对于一般平面图形\(P\)，我们总可以构造两个多边形\(B,A\)，\(B\)把\(P\)围住而\(A\)被\(P\)围住，显然\(B\)的面积不小于\(A\)的面积。所有满足条件的\(A\)的面积有上确界\(S_*\)，所有满足条件的\(B\)的面积有下确界\(S^*\)，当\(S_*=S^*\)时称\(P\)可求积，且\(S=S_*=S^*\)称为\(P\)的面积。

　　对于任意图形\(P\)，容易证明它可求积的充要条件是，存在多边形序列\(\{A_i\},\{B_i\}\)，它们的面积极限相同。这个条件真好适合定积分的定义，所以对于可积函数，用定积分定义面积是合理的。对于复杂的图形（定义域为\([a,b]\)），记\(x=x_0\)截得的线段长为\(g(x)\)（连续），则图形面积为式（15）左。若\(x\)是\(t\)的参数方程，且\(x‘(t)\)连续，则还可用式（15）右边计算。

\[S_P=\int_a^bg(x)\,\text{d}x=\int_{\alpha}^{\beta}g(x(t))x‘(t)\,\text{d}t,\quad(x(\alpha)=a,a(\beta)=b)\tag{15}\]

　　以上定义面积方法其实可以推广开来，如果要求的量\(Q\)在\([a,b]\)上连续，将它分成若干部分，每一部分使用某个可积分的近似值\(f(x_i)\varDelta x_i\)代替。然后证明误差部分趋于\(0\)，这样所求量就等于定积分\(\int_a^bf(x)\,\text{d}x\)。对于每个具体的问题，证明误差部分趋于零是必须的，有时候也是困难的，对\(f(x)\)的论证非常必要。但下面的结论，我只打算给出粗略的描述，具体证明请参考教材。

　　有些图形用极坐标描述更方便，对定义在\([\alpha,\beta]\)上的扇形\(r=r(\theta)\)，可以证明其面积为式（16）。类似地，可以用多面体来的近似来定义体积，使用多个棱柱计算更方便。若立体\(V\)定义在\([a,b]\)上，且\(x\)处的截面面积为\(S(x)\)，则可以证明其体积为\(\int_a^bS(x)\,\text{d}x\)。

\[r=r(\theta)\quad\Rightarrow\quad S_P=\dfrac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta}r^2(\theta)\,\text{d}{\theta}\tag{16}\]

2.1.2 长度、旋转面、曲线质量

　　现在讨论平面里的一条曲线段\(l\)，它由参数方程\(x(t),y(t),t\in[p,q]\)给出。在线上取若干个点，用线段按顺序连接它们，然后用这些线段的长度之和的极限定义\(l\)的长度。若曲线段自身不相交且不封闭，可以证明它的长度为式（17）。当曲线首尾相连时，可以拆成两段计算，容易证明这种情况公式仍然成立。如果把\(s\)看成\(t\)的函数，\(s‘(t)=x‘^2(t)+y‘^2(t)\geqslant 0\)且连续，从而\(t^{-1}(s)\)存在。\(x,y\)就可以看做\(s\)的函数，由\(\text{d}s^2=\text{d}x^2+\text{d}y^2\)知公式（18）成立。

\[s_l=\int_p^q\sqrt{x‘^2(t)+y‘^2(t)}\,\text{d}t=\int_a^b\sqrt{1+y‘^2(x)}\,\text{d}x=\int_{\alpha}^{\beta}\sqrt{r‘^2(\theta)+r^2(\theta)}\,\text{d}\theta\tag{17}\]

\[(\dfrac{\text{d}x}{\text{d}s})^2+(\dfrac{\text{d}y}{\text{d}s})^2=1\tag{18}\]

　　对于一般曲面的面积，在后面会给出一般方法，这里只讨论一类特殊曲面的面积。对于定义在\([a,b]\)上的曲线\(y(x)\)，将它绕\(x\)轴旋转一周，曲线的路径形成旋转面\(\Sigma\)。可以用曲线上的分段线段的旋转面（圆台侧面）作为旋转面面积，已经知道每个线段旋转面的面积是\(\pi(y_i+y_{i+1})d_i\)（\(d_i\)为线段长），从而可以证明旋转面面积为\(2\pi\int_0^ly\,\text{d}s\)（\(l\)为曲线长度），整理即得式（19）成立。

\[S_{\Sigma}=2\pi\int_p^qy(t)\sqrt{x‘^2(t)+y‘^2(t)}\,\text{d}t=2\pi\int_a^by(x)\sqrt{1+y‘^2(x)}\,\text{d}x\tag{19}\]

　　更一般地，曲线\(l\)每一点的密度为\(f(x,y)\)（也可能是其它意义），那么曲线的质量是多少呢？同样的方法，将曲线分割为若干小段\(\varDelta s\)，用所有段的质量和的极限作为\(l\)重量的定义。这样极限也被称为第一型曲线积分，记作\(\int_lf(x,y)\,\text{d}s\)。类似长度的分析，可以用关于\(t\)参数方程表示\(x,y,s\)，并将第一型曲线积分转化为一元积分（式（20））。

\[\int_lf(x,y)\,\text{d}s=\int_p^qf(x(t),y(t))\sqrt{x‘^2(t)+y‘^2(t)}\,\text{d}t\tag{20}\]

2.2 多元函数的积分

2.2.1 平面面积、体积

　　重积分本身就是对面积（体积）的积分，因此将积分函数设为\(1\)便可求平面面积和体积（式（21）），然后可以通过累次积分或换元法求得重积分。

\[S=\iint_D\text{d}x\,\text{d}y;\quad V=\iiint_{\Omega}\text{d}x\,\text{d}y\,\text{d}z\tag{21}\]

2.2.2 曲面面积、曲面质量

　　现在来看一般空间曲面\(\Gamma\)的面积，先介绍一个基本结论：设平面\(\pi_1,\pi_2\)之间的夹角为\(\theta\)，则容易证明\(\pi_1\)上任何图形在\(\pi_2\)上的垂直投影的面积是原图形的\(\cos{\theta}\)。为了定义曲面面积，我们将曲面\(f(x,y)\)分割为多个小区域\(\Gamma_1,\cdots,\Gamma_n\)，每个区域在\(xy\)平面上的垂直投影是\(D_i\)。对于每个区域\(\Gamma_i\)，可以用它上面的任一点\(\xi_i,\eta_i\)的法平面被投影分割的部分\(T_i\)来近似，为此还要假设\(f(x,y)\)有连续偏导数。

　　设\(T_i,D_i\)的面积分别为\(\varDelta\tau_i,\varDelta\sigma_i\)，由于\(T_i\)的法向量为\((f_x(\xi_i,\eta_i),f_y(\xi_i,\eta_i),-1)\)，故\(T_i,D_i\)的夹角满足式（22）左。所以曲面的近似面积如式（22）右所示，它其实就是\(D\)上的一个积分和，因此曲面面积为式（23）的重积分。如果\(x,y,z\)由参数\(u,v\)给出，重新计算便得式（24）的重积分。

\[\cos{\theta}=\dfrac{1}{\sqrt{1+f_x^2(\xi,\eta)+f_y^2(\xi,\eta)}};\quad\sum_{i=1}^n\varDelta\tau_i=\sum_{i=1}^n\dfrac{\varDelta\sigma_i}{\cos{\theta_i}}\tag{22}\]

\[S=\iint_D\sqrt{1+f_x^2(x,y)+f_y^2(x,y)}\,\text{d}x\,\text{d}y\tag{23}\]

\[S=\iint_{D‘}\sqrt{A^2+B^2+C^2}\,\text{d}u\,\text{d}v,\quad(A=\frac{\partial(y,z)}{\partial(u,v)},\;B=\frac{\partial(z,x)}{\partial(u,v)},\;C=\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)})\tag{24}\]

　　类似于第一型曲线积分，如果曲面\(\Gamma\)上的密度为\(f(x,y,z)\)（或其它意义），则曲面质量被称作第一型曲面积分。该积分记作\(\iint_{\Gamma}f(x,y,z)\,\text{d}\tau\)，上面的曲面面积其实就是\(\iint_{\Gamma}\text{d}\tau\)。可以将微分\(\text{d}\tau\)展开，从而将第一型曲面积分转化为二重积分（比如式（25），也可以写成关于参变量\(u,v\)的重积分）。

\[\iint_{\Gamma}f(x,y,z)\,\text{d}\tau=\iint_Df(x,y,z(x,y))\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}\,\text{d}x\,\text{d}y\tag{25}\]